Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão está representado na figura.
descreve como varia a altura h, medida em centímetro, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo t, medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos.
O valor do parâmetro β, que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante t = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm.
Para os cálculos, utilize 3 como aproximação para π.
O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro β, de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é
A) 1.
B) 2.
C) 4.
D) 5.
E) 8.
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática: Trigonometria (Equações Trigonométricas e Periodicidade).
- Matemática: Inequações.
Tema/Objetivo Geral:
- Modelagem matemática de um movimento oscilatório (pistão) usando função seno, exigindo o cálculo do tempo necessário para que um evento ocorra múltiplas vezes.
Nível da Questão: Médio.
- A questão exige a resolução de uma equação trigonométrica (
sin=1/2), a identificação de múltiplas soluções dentro do ciclo trigonométrico (não apenas a primeira, mas a terceira ocorrência) e a resolução de uma desigualdade final. O uso de*π*=3simplifica as contas, mas o raciocínio sequencial é complexo.
Gabarito: D.
Como t<4, temos 16/β<4⇒β>4. O menor inteiro é 5. Igualar h(t)=6 leva a sin(…)=1/2. O seno vale 1/2 nos ângulos π/6, 5π/6, 13π/6 (este é o 3º evento). Igualando o argumento da função a 13π/6 e usando π=3, chegamos a t=16β.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão nos dá uma fórmula complexa que diz onde o pistão está a cada segundo. Queremos que ele suba e desça rápido o suficiente para passar pela altura de 6 cm pela terceira vez em menos de 4 segundos.
Precisamos descobrir qual a velocidade mínima (β) para que isso aconteça.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine um relógio de ponteiro.
O ponteiro tem que passar pelo número “6” (que seria a altura 6 cm).
Ele passa pelo 6 na ida, na volta, na ida de novo…
Queremos que ele passe pelo 6 pela terceira vez antes de o cronômetro marcar 4 segundos. Se ele for muito lento (pequeno), ele demora mais de 4 segundos. Precisamos acelerá-lo.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Descobrir o que precisa acontecer dentro do “seno” para que a altura seja 6.
- Listar os ângulos onde isso acontece (1ª vez, 2ª vez, 3ª vez).
- Igualar a fórmula do tempo a esse ângulo da 3ª vez.
- Resolver a desigualdade “Tempo < 4” para achar o valor de β.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Ferramenta 1: Equação do Pistão
h(t)=4+4sin(2βt−2π)
Queremos h(t)=6.
Ferramenta 2: O Ciclo Trigonométrico
- Quando sen(x)=1/2?
- Nos ângulos de 30 (π/6) e 150 (5π/6).
- O ciclo se repete a cada 2π.
- 1ª vez: π/6.
- 2ª vez: 5π/6
- 3ª vez: π/6+2π=13π/6
Ferramenta 3: Simplificação Numérica
- O texto manda usar π=3. Isso é um presente! Use sem dó.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos calcular passo a passo:
1. Isolando o Seno:
6=4+4sin(…)
2=4sin(…)
2/4=sin(…)
sin=0,5
2. Encontrando o Ângulo da 3ª Vez:
O argumento é que precisa ser um ângulo cujo seno é 0,5.
- 1ª ocorrência: π/6.
- 2ª ocorrência: 5π/6.
- 3ª ocorrência: π/6na próxima volta π/6+2π, π/6+2π.
- Soma de frações: π/6 +12π =13π/6
3. Montando a Equação do Tempo:
O “recheio” do seno na fórmula original é (βt/2−π/2).
Isso tem que ser igual ao nosso ângulo alvo (13π/6).
βt−2π=13π/6
Vamos simplificar a vida substituindo π=3 agora:
βt/2−3/2=13×3/6
βt/2−1,5=39/6
39/6=6,5
βt/2−1,5=6,5
βt/2=8
βt=16
t=16/β
4. O Veredito da Desigualdade:
A questão exige que esse tempo (t) seja menor que 4.
16/β<4
Passa o β multiplicando (como é positivo, não inverte o sinal):
16<4β
4<β
Ou seja:
β tem que ser maior que 4.
Qual é o menor número inteiro maior que 4?
É o 5.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro comum é achar que
β>4
permite que a resposta seja 4.
Não! A desigualdade é estrita (“menos de 4 segundos”). Se β=4, o tempo seria exatamente 4 segundos, o que não é “menos que 4”.
Outro erro é errar a contagem das voltas.
- 1ª vez: sobe e passa pelo 6.
- 2ª vez: desce e passa pelo 6.
- 3ª vez: sobe de novo e passa pelo 6 (já na segunda volta do ciclo).
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Resolvemos a trigonometria para o 3º evento, isolamos o t e aplicamos a restrição t<4. Resultado: β>4.
- Expectativa: O próximo inteiro após 4, que é 5.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 1.
O Diagnóstico do Erro: Lentidão.
Por que está incorreta: Se β=1, t=16 segundos. Demora muito!
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 2.
O Diagnóstico do Erro: Lentidão.
Por que está incorreta: Se β=2, t=8 segundos. Ainda acima de 4.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 4.
O Diagnóstico do Erro: O Limite Exato.
Por que está incorreta: Se β=4, t=4 segundos. O enunciado pede “menos de 4”. Bateu na trave.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 5.
Análise de Correspondência: Perfeito. Se β=5, t=16/5=3,2 segundos. Isso é menor que 4. Como 5 é o primeiro inteiro acima de 4, é a resposta mínima necessária.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
E) 8.
O Diagnóstico do Erro: Excesso desnecessário.
Por que está incorreta: Se β=8, t=2 segundos. Funciona? Sim. Mas a pergunta pede o menor valor inteiro. 5 é menor que 8 e já funciona.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Motores são relógios acelerados: para que o pistão complete seu ciclo e atinja a marca de 6 cm pela terceira vez em tempo recorde (menos de 4s), a velocidade angular representada por β precisa superar o limiar de 4, tornando 5 (Alternativa D) o ajuste inteiro mínimo necessário.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
⏱️ Tempo Alvo: < 4s.
🔄 3ª Passagem: 13π/6.
🚀 Cálculo: 16/β<4⇒β>4.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conexão com a Música (Frequência e Hertz):
O parâmetro β está controlando a frequência do motor.
Em música, isso é o que diferencia uma nota grave de uma aguda.
Uma corda de violão vibrando devagar (β baixo) faz um som grave. Uma vibrando rápido (β alto) faz um som agudo. O motorista sente isso: quando ele acelera, o “ronco” do motor fica mais agudo porque os pistões estão subindo e descendo mais vezes por segundo (maior frequência). A matemática do motor é a mesma da sinfonia!
