Um aplicativo de relacionamentos funciona da seguinte forma: o usuário cria um perfil com foto e informações pessoais, indica as características dos usuários com quem deseja estabelecer contato e determina um raio de abrangência a partir da sua localização. O aplicativo identifica as pessoas que se encaixam no perfil desejado e que estão a uma distância do usuário menor ou igual ao raio de abrangência. Caso dois usuários tenham perfis compatíveis e estejam numa região de abrangência comum a ambos, o aplicativo promove o contato entre os usuários, o que é chamado de match.
O usuário P define um raio de abrangência com medida de 3 km e busca ampliar a possibilidade de obter um match se deslocando para a região central da cidade, que concentra um maior número de usuários. O gráfico ilustra alguns bares que o usuário P costuma frequentar para ativar o aplicativo, indicados por I, II, III, IV e V.
Sabe-se que os usuários Q, R e S, cujas posições estão descritas pelo gráfico, são compatíveis com o usuário P, e que estes definiram raios de abrangência respectivamente iguais a 3 km, 2 km e 5 km.
Com base no gráfico e nas afirmações anteriores, em qual bar o usuário P teria a possibilidade de um match com os usuários Q, R e S, simultaneamente?
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria Analítica: Distância entre dois pontos no plano cartesiano.
- Interpretação de Gráficos: Leitura de coordenadas e regiões de intersecção.
Tema/Objetivo Geral:
- Determinação de uma localização ótima que satisfaça múltiplas condições de proximidade simultâneas (estar dentro de vários círculos de raio definido).
Nível da Questão: Médio.
- Justificativa: A questão exige a aplicação da fórmula da distância entre pontos (Pitágoras) repetidas vezes ou uma análise visual precisa. O aluno deve entender que o “match” só acontece se a distância entre o usuário P (no bar) e o outro usuário for menor ou igual à soma dos raios de abrangência? Não! O texto diz: “estar a uma distância… menor ou igual ao raio”. Isso significa que o ponto escolhido (Bar) deve estar dentro do círculo de abrangência de Q, de R e de S ao mesmo tempo.
Gabarito: A.
- Resumo: O usuário P precisa estar em um local (Bar) que esteja dentro do raio de ação de Q (3km), R (2km) e S (5km) simultaneamente. Calculando as distâncias ou desenhando os círculos no gráfico, o único ponto que pertence à intersecção dos três círculos é o Bar I.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão pede para encontrarmos um local (Bar) onde o usuário P consiga se conectar com três pessoas (Q, R e S) ao mesmo tempo.
Para isso, o Bar escolhido deve estar “perto o suficiente” de Q, “perto o suficiente” de R e “perto o suficiente” de S.
“Perto o suficiente” significa estar dentro do raio de alcance que cada um definiu.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que cada usuário (Q, R, S) tem uma corda amarrada na cintura.
A corda do Q tem 3 km.
A corda do R tem 2 km.
A corda do S tem 5 km.
Eles estão parados em suas casas. O usuário P quer ir para um bar onde ele consiga segurar a ponta das três cordas ao mesmo tempo. Qual bar ele escolhe?
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Identificar as coordenadas (x, y) de cada usuário (Q, R, S) e dos Bares (I a V).
- Definir os raios de alcance:
RQ=3,RR=2,RS=5. - Testar cada Bar: Calcular a distância do Bar até Q, R e S.
- Verificar se a distância é menor ou igual ao raio de cada um. O bar que passar nos três testes vence.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Ferramenta 1: Coordenadas do Gráfico
Olhando o plano cartesiano, extraímos as posições:
- Q: (3, 7)
- R: (6, 7)
- S: (5, 3)
- Bar I: (5, 6)
- Bar II: (4, 5)
- Bar III: (5, 5)
- Bar IV: (4, 6)
- Bar V: (3, 4)
Ferramenta 2: Fórmula da Distância
A distância entre dois pontos é a hipotenusa de um triângulo retângulo imaginário.
Distância² = (Diferença de X)² + (Diferença de Y)²
(Isso é Pitágoras puro!).
Uma imagem poderosa pode transformar um conceito abstrato em uma memória inesquecível. A ilustração a seguir foi criada para visualizar a essência da nossa análise, tornando a ideia central clara e impactante:
(A Intersecção dos Círculos de Alcance).
O círculo azul menor (R) é o mais restritivo. O Bar I é o único ponto que cai dentro dele e dos outros dois.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos testar os bares, começando pelo mais promissor visualmente (Bar I).
Análise do Bar I (Localização: 5, 6):
- Distância até Q (3, 7):
- Diferença X: 5 – 3 = 2.
- Diferença Y: 6 – 7 = -1.
D2=22+(−1)2=4+1=5.D=5(aprox. 2,2 km).- Teste: 2,2 km é menor que o raio de Q (3 km)? SIM. (Match com Q ok).
- Distância até R (6, 7):
- Diferença X: 5 – 6 = -1.
- Diferença Y: 6 – 7 = -1.
D2=(−1)2+(−1)2=1+1=2.D=2(aprox. 1,4 km).- Teste: 1,4 km é menor que o raio de R (2 km)? SIM. (Match com R ok).
- Distância até S (5, 3):
- Diferença X: 5 – 5 = 0.
- Diferença Y: 6 – 3 = 3.
D2=02+32=9.D=3km.- Teste: 3 km é menor que o raio de S (5 km)? SIM. (Match com S ok).
Veredito: O Bar I satisfaz todas as condições simultaneamente.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O aluno pode tentar fazer “no olho” e achar que o Bar II ou III também servem.
O ponto crítico é o usuário R, que tem o raio mais curto (apenas 2 km).
Olhe para o Bar III (5, 5). A distância até R (6, 7) seria:
Delta X = 1, Delta Y = 2.
D2=12+22=5.D=5 (aprox 2,23 km).
Como 2,23 é maior que 2 km (raio de R), o Bar III NÃO dá match com R.
A matemática confirma o que o olho pode enganar.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O Bar I está a
22km de R, o que é seguro. Qualquer outro bar se afasta demais de R ou de Q. - Expectativa: Alternativa A.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) I.
- Análise de Correspondência: Como calculado, o Bar I está dentro dos limites de distância de Q, R e S. É o único ponto de intersecção tripla.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
- B) II.
- O Diagnóstico do Erro: Fora de Alcance de R.
- Por que está incorreta: Bar II está em (4, 5). Distância até R (6, 7):
D2=(6−4)2+(7−5)2=4+4=8.D=8≈2,8km.
Isso é maior que o raio de R (2 km). Sem match. - Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- C) III.
- O Diagnóstico do Erro: Quase lá (Falha com R).
- Por que está incorreta: Bar III está em (5, 5). Distância até R (6, 7) é
5≈2,23km. Passou raspando do limite de 2 km. - Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- D) IV.
- O Diagnóstico do Erro: Fora de Alcance de S.
- Por que está incorreta: Bar IV está em (4, 6). Distância até S (5, 3):
D2=12+32=10.D=10≈3,16km. (Match com S ok).
Mas e R (6, 7)?D2=22+12=5.D=2,23km. Falha com R. - Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- E) V.
- O Diagnóstico do Erro: Isolado.
- Por que está incorreta: Bar V está em (3, 4). Longe de R e Q.
Distância até R (6, 7):D2=32+32=18.D≈4,2km. Muito longe. - Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A geometria analítica atua como o cupido digital: ao calcularmos a distância entre os pontos, provamos que apenas o Bar I (Alternativa A) reside na restrita zona de intersecção onde os desejos (raios) de Q, R e S se encontram.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
🎯 Q e S: Círculos Grandes (Fáceis).
⭕ R: Círculo Pequeno (O chato).
📍 Bar I: O único que agradou o chato (R).
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conexão com Telefonia Celular (Triangulação):
O problema que você resolveu é a base de como o GPS ou as antenas de celular localizam você!
Se o seu celular está ao alcance da Torre A, Torre B e Torre C, sua posição exata é a intersecção dos três círculos de sinal dessas torres. O “Bar I” seria você, e Q, R, S seriam as antenas. A matemática dos encontros amorosos é a mesma da geolocalização por satélite!
