Construir figuras de diversos tipos, apenas dobrando e cortando papel, sem cola e sem tesoura, é a arte do origami (ori = dobrar; kami = papel), que tem um significado altamente simbólico no Japão.
A base do origami é o conhecimento do mundo por base do tato. Uma jovem resolveu construir um cisne usando técnica do origami, utilizando uma folha de papel de 18 cm por 12 cm.
Assim, começou por dobrar a folha conforme a figura.
Após essa primeira dobradura, a medida do segmento AE é
A) 2√22 cm.
B) 6√3 cm.
C) 12cm.
D) 6√5 cm.
E) 12√2 cm.
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria Plana: Retângulos, Triângulos e Teorema de Pitágoras.
- Radiciação: Simplificação de raízes não exatas.
Tema/Objetivo Geral:
- Aplicação do Teorema de Pitágoras em um contexto prático de dobradura (origami) para encontrar a medida de um segmento (hipotenusa).
Nível da Questão: Médio.
- Justificativa: A questão não é imediata. O aluno precisa “enxergar” o triângulo retângulo formado pela dobra e deduzir a medida de um dos catetos (DE) subtraindo partes do papel (18 – 12). Além disso, a resposta exige a simplificação da raiz quadrada (Raiz de 180 = 6√5), o que adiciona uma camada extra de dificuldade aritmética.
Gabarito: D.
- Resumo: A dobra cria um triângulo retângulo ADE onde os catetos são AD = 12 e DE = 18 – 12 = 6. A hipotenusa AE é calculada por Pitágoras: x² = 12² + 6² = 180. Simplificando, x = 6√5.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão quer que calculemos o comprimento de uma linha inclinada (o segmento AE) que apareceu depois de dobrar a ponta de um papel retangular.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que o papel é um terreno retangular. Você caminha da ponta A até a ponta E em linha reta (atravessando o gramado). Queremos saber a distância dessa caminhada.
Para descobrir isso, precisamos olhar para o triângulo retângulo que se formou ali no canto e usar o famoso Pitágoras.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Identificar o triângulo retângulo ADE na figura.
- Descobrir o valor do cateto vertical (AD).
- Descobrir o valor do cateto horizontal (DE) subtraindo o que sobrou do papel.
- Aplicar o Teorema de Pitágoras para achar a hipotenusa (AE).
- Simplificar a raiz quadrada encontrada.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Ferramenta 1: Teorema de Pitágoras
Em todo triângulo retângulo:
Hipotenusa² = Cateto 1² + Cateto 2²
No nosso caso: AE² = AD² + DE².
Ferramenta 2: Fatoração de Raízes
Como simplificar a raiz de 180?
Fatoramos o número ou o quebramos em produtos conhecidos.
Exemplo: 180 = 36 x 5.
Raiz de (36 x 5) = Raiz de 36 x Raiz de 5 = 6√5.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos olhar para a geometria da dobra:
1. Identificando o Cateto AD:
O lado AD é a largura original do papel. O papel não mudou de largura.
O enunciado diz que o papel tem 12 cm de largura.
Logo, AD = 12 cm.
2. Identificando o Cateto DE:
Aqui está o “pulo do gato”.
- O comprimento total do papel (topo) era 18 cm.
- A dobra foi feita trazendo a altura (12) para se alinhar com a base. Isso significa que a parte dobrada ocupa 12 cm na horizontal.
- O que sobra para formar o cateto deitado (DE) é a diferença entre o comprimento total e a parte dobrada.
- Cálculo: DE = 18 – 12.
- Logo, DE = 6 cm.
3. Calculando Pitágoras:
Chamaremos a hipotenusa de x.
x² = 12² + 6²
x² = 144 + 36
x² = 180
x = √180 (Raiz de 180).
4. Simplificando a Raiz:
Sabemos que 180 = 36 x 5.
x = √(36 x 5)
A raiz de 36 é 6. O 5 fica dentro da raiz.
x = 6√5.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro comum é não saber de onde vem o 6.
Muitos alunos veem o 18 e o 12 e tentam fazer Pitágoras direto com eles (18² + 12²), achando que a dobra é a diagonal do papel inteiro.
Não é! A dobra (AE) não vai de canto a canto. Ela corta o papel antes. O cateto de baixo não é 18, é a diferença (18 – 12 = 6).
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Cateto 1 = 12. Cateto 2 = 6. Hipotenusa = Raiz de 180 = 6√5.
- Expectativa: Alternativa D.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 2√22 cm
- O Diagnóstico do Erro: Erro de Fatoração.
- Por que está incorreta: Talvez o aluno tenha chegado em Raiz de 88 ou feito uma simplificação errada da raiz de 180. Não corresponde ao cálculo correto.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- B) 6√3 cm
- O Diagnóstico do Erro: Confusão com Triângulos Especiais.
- Por que está incorreta: Isso seria o resultado se tivéssemos catetos diferentes ou se fosse a altura de um triângulo equilátero de lado 12.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- C) 12 cm
- O Diagnóstico do Erro: Conceito Geométrico.
- Por que está incorreta: A hipotenusa é sempre maior que os catetos. Se um cateto é 12, a hipotenusa tem que ser maior que 12. É impossível ser 12.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- D) 6√5 cm
- Análise de Correspondência: Perfeito. O cálculo (12² + 6² = 180) simplifica exatamente para 6√5.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
- E) 12√2 cm
- O Diagnóstico do Erro: Pitágoras no Quadrado.
- Por que está incorreta: Esse seria o valor da diagonal de um quadrado de lado 12. O aluno assumiu que o triângulo era isósceles (lados 12 e 12), esquecendo de subtrair para achar o cateto de 6.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
No origami, a geometria se revela nas dobras: ao subtrair a altura da largura (18 – 12), descobrimos o cateto oculto de 6 cm, permitindo que Pitágoras nos entregue a medida exata da dobra AE como 6√5 cm (Alternativa D).
Resumo-flash (A Imagem Mental):
📐 Catetão: 12 (Altura).
📏 Catetinho: 6 (Sobra: 18-12).
✨ Hipotenusa: Pitágoras resolve.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conexão com Formatos de Papel (Série A):
Você sabia que o papel A4 tem uma propriedade mágica? Se você dobrá-lo ao meio, ele vira um A5, que tem exatamente a mesma proporção do A4. Isso só acontece porque a razão entre os lados é Raiz de 2 (aprox 1,41). Ao contrário do papel da questão (18/12 = 1,5), o A4 é o único retângulo que mantém a forma geométrica ao ser dobrado infinitamente!
