O dono de um restaurante situado às margens de uma rodovia percebeu que, ao colocar uma placa de propaganda de seu restaurante ao longo da rodovia, as vendas aumentaram. Pesquisou junto aos seus clientes e concluiu que a probabilidade de um motorista perceber uma placa de anúncio é 1/2.
Com isso, após autorização do órgão competente, decidiu instalar novas placas com anúncios de seu restaurante ao longo dessa rodovia, de maneira que a probabilidade de um motorista perceber pelo menos uma das placas instaladas fosse superior a 99/100.
A quantidade mínima de novas placas de propaganda a serem instaladas é
A) 99
B) 51
C) 50
D) 6
E) 1
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Probabilidade: Eventos Independentes e Probabilidade do Evento Complementar.
- Inequações Exponenciais: Resolução de potências.
Tema/Objetivo Geral:
- Cálculo da probabilidade da união de eventos (“pelo menos um”) utilizando a técnica do evento complementar (“nenhum”) para atingir uma margem de segurança.
Nível da Questão: Médio
- A questão exige a modelagem do problema usando o evento complementar (1 menos a chance de falhar), que é a única forma viável de resolver rapidamente. O cálculo direto seria muito longo. Além disso, há uma “pegadinha” no final: a pergunta é sobre novas placas, exigindo que se subtraia a placa já existente do total calculado.
Gabarito: D
- A probabilidade de ver pelo menos uma placa é igual a 1 menos a probabilidade de não ver nenhuma.
- A inequação formada é: 1 – (1/2)^n > 0,99.
- Isso leva a 2^n > 100. A menor potência de 2 que supera 100 é 128 (2^7). Logo, são necessárias 7 placas no total.
- Como já existe 1 placa, precisamos de 7 – 1 = 6 novas placas.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
O dono do restaurante quer ter quase certeza absoluta (mais de 99%) de que os motoristas verão o anúncio dele. Sabemos que cada placa tem 50% de chance de ser vista. A missão é descobrir quantas placas adicionais precisamos instalar para atingir essa meta de segurança.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você está jogando moedas para cima. “Ver a placa” é tirar “Cara”. A chance é 50% (1/2).
- Se você jogar 1 moeda, a chance de ver Cara é 50%.
- Se você jogar várias moedas, a chance de sair pelo menos uma Cara aumenta muito.
Quantas moedas você precisa jogar para ter 99% de certeza de que vai sair pelo menos uma Cara?
E lembre-se: você já jogou uma moeda antes de começar a contar as novas!
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Calcular a chance de NÃO ver uma placa (o fracasso).
- Calcular a chance de NÃO ver NENHUMA placa em uma sequência de “n” placas (fracasso total).
- Usar o conceito de “Pelo menos uma” (100% menos o Fracasso Total) para montar a conta.
- Descobrir o número total de placas necessário.
- Subtrair a placa antiga para achar o número de placas novas.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver problemas que pedem a chance de “pelo menos um”, usamos a Regra do Complementar. É muito mais fácil calcular a chance de dar tudo errado e subtrair do total.
A Regra de Ouro:
P(Sucesso) = 1 – P(Fracasso Total)
No nosso caso:
- Chance de Ver a placa = 1/2.
- Chance de Não Ver a placa = 1/2.
- Chance de Não Ver Nenhuma em “n” placas = (1/2) x (1/2) x … = (1/2)^n.
A Condição do Problema:
Queremos que a chance de sucesso seja maior que 99/100.
Logo: 1 – (1/2)^n > 99/100.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos resolver a inequação passo a passo, sem complicação:
1. Montando a conta:
Sabemos que o sucesso é (1 – Fracasso).
O problema quer: Sucesso > 99/100.
Então:
1 – Fracasso > 99/100
2. Isolando o Fracasso:
Para que o sucesso seja maior que 99%, o fracasso (não ver nenhuma placa) tem que ser menor que 1% (ou 1/100).
(1/2)^n < 1/100
3. Invertendo para facilitar:
Se (1/2)^n é menor que 1/100, isso significa que o denominador (2^n) tem que ser maior que 100.
2^n > 100
4. Testando as Potências de 2 (Tabuada do 2):
- 2^1 = 2
- 2^2 = 4
- 2^3 = 8
- 2^4 = 16
- 2^5 = 32
- 2^6 = 64 (Ainda é menor que 100. Com 6 placas, a chance de erro é 1/64, que ainda é grande).
- 2^7 = 128 (Bingo! 128 é maior que 100. Com 7 placas, a chance de erro é 1/128, que é menor que 1/100).
Conclusão Parcial: Precisamos de um total de 7 placas ao longo da estrada para garantir a visualização.
5. A Pegadinha Final (O Ajuste):
O texto diz: “decidiu instalar novas placas”. E também diz que ele já tinha colocado uma placa antes.
- Total necessário: 7.
- Já existentes: 1.
- Novas a instalar: 7 – 1 = 6.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é somar as probabilidades: 50% + 50% = 100%.
O aluno pensa: “Se com uma placa eu tenho 50%, com duas eu tenho 100%!”. Isso é falso!
Em eventos independentes, as probabilidades nunca se somam diretamente dessa forma. Se você jogar duas moedas, não é certeza absoluta que vai sair cara. A probabilidade se multiplica: a chance de errar duas vezes é 50% x 50% = 25%. Logo, a chance de acertar é 75%, não 100%.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Para reduzir o risco de “cegueira” a menos de 1%, precisamos de 7 tentativas (pois 2 elevado a 7 é 128, que supera 100). Como já tínhamos 1 tentativa, adicionamos 6.
- Expectativa: O número 6.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 99
- O Diagnóstico do Erro: Interpretação literal.
- Por que está incorreta: O aluno vê “99/100” e acha que precisa de 99 placas para ter 99% de chance. Ignora que a eficiência aumenta exponencialmente, não linearmente.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- B) 51
- O Diagnóstico do Erro: Tentativa de proporção linear.
- Por que está incorreta: O aluno pensa: “Se 1 placa dá cerca de 50%, para ter 100% (ou quase), preciso de 50 e poucos?”. Tenta fazer uma regra de três indevida.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- C) 50
- O Diagnóstico do Erro: Confusão com o denominador.
- Por que está incorreta: Similar à anterior, tentando relacionar o 1/2 com o denominador 100 de forma direta.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- D) 6
- Análise de Correspondência: Perfeito. O cálculo exponencial nos mostra que 7 placas reduzem o erro para menos de 1%. Subtraindo a placa que já estava lá, restam 6 para instalar.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
- E) 1
- O Diagnóstico do Erro: Cálculo insuficiente.
- Por que está incorreta: Com apenas 1 placa nova (totalizando 2), a chance de ver seria 1 – (1/4) = 75%. Isso está longe dos 99% exigidos.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A certeza em probabilidade é difícil de alcançar, mas podemos chegar muito perto dela pela redundância: cada nova placa instalada corta a chance de fracasso pela metade. Com 6 novas placas (totalizando 7), reduzimos a chance de ninguém ver o anúncio para menos de 1%, garantindo a eficácia desejada (Alternativa D).
Resumo-flash (A Imagem Mental):
🛑 1 Placa: 50% de erro (1/2).
🛑🛑 2 Placas: 25% de erro (1/4).
…
🛑x7 7 Placas: Menos de 1% de erro (1/128).
(Tira a velha = 6 novas).
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conexão com a Engenharia de Segurança (Redundância):
Este é o princípio dos sistemas críticos, como em aviões.
Se um motor tem 1 chance em 1000 de falhar, o avião é projetado com dois ou quatro motores. A chance de todos falharem ao mesmo tempo é (1/1000) elevado a n. Com sistemas redundantes independentes, transformamos falhas prováveis em eventos matematicamente quase impossíveis, garantindo a segurança. As placas na estrada são a “redundância” do marketing para garantir que a mensagem chegue!
