Questão 150, caderno azul do ENEM 2019 – DIA 2

Uma pessoa se interessou em adquirir um produto anunciado em uma loja. Negociou com o gerente e conseguiu comprá-lo a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês.

O primeiro pagamento será um mês após a aquisição do produto, e no valor de R$ 202,00. O segundo pagamento será efetuado um mês após o primeiro, e terá o valor de R$ 204,02.

Para concretizar a compra, o gerente emitirá uma nota fiscal com o valor do produto à vista negociado com o cliente, correspondendo ao financiamento aprovado.

O valor à vista, em real, que deverá constar na nota fiscal é de

A) 398,02

B) 400,00

C) 401,94

D) 404,00

E) 406,02

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão:

• Matemática Financeira: Juros Compostos e Valor Presente (Descapitalização).

Tema/Objetivo Geral:

• Cálculo do valor à vista de um financiamento trazendo parcelas futuras a valor presente usando a taxa de juros compostos.

Nível da Questão: Fácil.

• A questão envolve apenas duas parcelas e a taxa de juros é “amigável” (1%), o que simplifica os cálculos manuais. O conceito exigido (trazer a valor presente) é fundamental em matemática financeira.

Gabarito: B.

• Valor Presente = VP1​+VP2​.
• VP1​=202​/1,01=200.
• VP2​=204,02/(1,01)²​=204,02/1,0201​=200.
• Total = 200+200=400.

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo:
A questão quer que a gente descubra o preço original (à vista) do produto. Sabemos quanto a pessoa pagou no futuro (com juros embutidos) e precisamos “limpar” esses juros para descobrir o valor real da mercadoria no dia da compra.

Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você pegou um empréstimo com o banco.

Daqui a 1 mês, você devolve R$ 202,00.

Daqui a 2 meses, você devolve R$ 204,02.

O banco cobra 1% de juros ao mês.
A pergunta é: Quanto dinheiro o banco te emprestou hoje?
Para descobrir, temos que fazer a “viagem no tempo” ao contrário: trazer o dinheiro do futuro para o presente, descontando os juros.

Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):

• Pegar a Parcela 1 e “voltar 1 mês” no tempo (dividir por 1,01).
• Pegar a Parcela 2 e “voltar 2 meses” no tempo (dividir por 1,01²).
• Somar os dois valores “limpos” para achar o preço total à vista.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Para tirar juros, usamos a operação inversa da multiplicação (que é a divisão).

A Fórmula da Máquina do Tempo (Descapitalização):

ValorPresente=ValorFuturo/(1+i)n​

Onde:

• i=1%=0,01.
• n = número de meses.
• Fator de correção = (1+0,01)=1,01.

Visualização:

• Futuro → Presente: DIVIDE por (1+i)n.
• Presente → Futuro: MULTIPLICA por (1+i)n.

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos calcular o valor real de cada pedaço do pagamento:

1. A Primeira Parcela (R$ 202,00 em 1 mês):
Precisamos tirar 1 mês de juros.

VP1​=202,00​/1,01

Dica de cálculo: 202÷1,01 é o mesmo que 20200÷101.

VP1​=200,00

Significado: R

200,00 hoje valem R

 202,00 daqui a um mês.

2. A Segunda Parcela (R$ 204,02 em 2 meses):
Precisamos tirar 2 meses de juros (juros sobre juros).

VP2​=204,02​/(1,01)²

Primeiro, calculamos 

1,01×1,01=1,0201.

VP2​=204,02​/1,0201

Dica de cálculo: Note que os números são “gêmeos” multiplicados por 2 ou 100.

204,02÷1,0201=200.

VP2​=200,00

Significado: R

200,00 hoje valem R e 204,02 daqui a dois meses.

3. O Valor da Nota Fiscal:
A nota fiscal deve ter a soma dos valores presentes.

Total=VP1​+VP2​

Total=200+200=400,00

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum é somar as parcelas futuras (202+204,02=406,02) e tentar descontar os juros do total de uma vez, ou achar que o valor à vista é a soma bruta.
O valor à vista sempre é menor que a soma das parcelas (porque não tem juros).
Outro erro é tratar como juros simples e apenas subtrair 1% ou 2% do valor final. Em juros compostos, a divisão é obrigatória!

A Bússola (O Perfil do Culpado):

• Síntese do raciocínio: Trouxemos R202,00 do mês 1 para o presente (200) e R 204,02 do mês 2 para o presente (200). Soma = 400.
• Expectativa: O valor exato R$ 400,00.

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

• A) 398,02
  • O Diagnóstico do Erro: Erro de Cálculo.
  • Possibilidade: Talvez o aluno tenha subtraído os valores dos “juros” nominais (2+4,02) de forma errada do total? Não faz sentido financeiro direto.
  • Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
• B) 400,00
  • Análise de Correspondência: Perfeito. O cálculo do valor presente das duas parcelas resulta em dois valores exatos de 200, cuja soma é 400.
  • Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
• C) 401,94
  • O Diagnóstico do Erro: Desconto Simples Indevido.
  • Cálculo Errado: Talvez tentou descontar 1% do total bruto? 406,02×0,99≈401,9. O desconto deve ser feito parcela a parcela, respeitando o tempo.
  • Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
• D) 404,00
  • O Diagnóstico do Erro: Confusão com Valor Futuro.
  • Possibilidade: Valor próximo da soma simples, mas sem lógica financeira clara.
  • Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
• E) 406,02
  • O Diagnóstico do Erro: Soma Bruta.
  • Por que está incorreta: Essa é apenas a soma aritmética das parcelas (202+204,02). Esse é o valor total pago a prazo, não o valor à vista. A nota fiscal deve refletir o valor presente.
  • Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento:
O dinheiro tem valor no tempo: para descobrir o preço real de uma compra parcelada, devemos usar a “máquina do tempo” da matemática financeira (divisão pela taxa composta) e trazer cada parcela de volta ao presente, revelando que o valor da nota é R$ 400,00 (Alternativa B).

Resumo-flash (A Imagem Mental):
⏳ Futuro 

→

 Presente: Divide!
💰 Parcela 1: 202 / 1,01 = 200.
💰 Parcela 2: 204,02 / 1,0201 = 200.
∑ Total: 400.

🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conexão com a Avaliação de Empresas (Valuation):
O método que usamos aqui (trazer dinheiro futuro para valor presente) é a base de como Wall Street decide quanto vale uma empresa como a Apple ou a Amazon. Chama-se DCF (Discounted Cash Flow) ou Fluxo de Caixa Descontado.
Os analistas projetam quanto a empresa vai lucrar nos próximos 10 anos (as “parcelas futuras”) e trazem tudo a valor presente usando uma taxa de juros. A soma desses valores é o preço justo da ação hoje. Você acabou de fazer um “valuation” simplificado de uma compra!