Questão 147, caderno azul do ENEM 2019 – DIA 2

Uma administração municipal encomendou a pintura de dez placas de sinalização para colocar em seu pátio de estacionamento.

O profissional contratado para o serviço inicial pintará o fundo de dez placas e cobrará um valor de acordo com a área total dessas placas. O formato de cada placa é um círculo de diâmetro d = 40 cm, que tangencia lados de um retângulo, sendo que o comprimento total da placa é h = 60 cm, conforme ilustrado na figura. Use 3,14 como aproximação para π.

Qual é a soma das medidas das áreas, em centímetros quadrados, das dez placas?

A) 16 628

B) 22 280

C) 28 560

D) 41 120

E) 66 240

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão:

• Geometria Plana: Decomposição de Figuras Planas.
• Cálculo de Área: Retângulo (b⋅h) e Círculo (π⋅r²).

Tema/Objetivo Geral:

• Cálculo de área de figuras compostas (retângulo + semicírculo) e multiplicação pelo total de unidades.

Nível da Questão: Médio.

• A questão exige a decomposição da figura, que não é imediata para todos os alunos. É preciso perceber que a parte superior é um semicírculo e que a parte inferior é um retângulo cuja altura depende do raio. Além disso, há cálculos com números decimais e multiplicação final por 10.

Gabarito: B.

• Área de 1 placa = Área do quadrado (40×40) + Área do semicírculo (r=20).
• Aplaca​=1600+23,14⋅400​=1600+628=2228cm².
• Para 10 placas: 22228×10=22.280cm².

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo:
A questão quer saber a quantidade total de tinta necessária, ou seja, a área total das 10 placas.

Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que a placa é feita de duas bolachas coladas.

A parte de baixo é um quadrado (retângulo).

A parte de cima é a metade de uma pizza redonda.
Precisamos calcular a área da “bolacha quadrada”, somar com a “meia pizza” e, no final, multiplicar tudo por 10, porque são 10 placas iguais.

Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):

• Decompor a figura da placa em formas geométricas conhecidas (Retângulo e Semicírculo).
• Calcular as dimensões de cada parte (base, altura e raio) usando o diâmetro e a altura total.
• Calcular a área de uma única placa.
• Multiplicar por 10.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Ferramentas Geométricas:

• Retângulo: A=b⋅h.
• Círculo: A=π⋅r².
• Semicírculo: A=2π⋅r²​.

Dados do Problema:

• Diâmetro (d) = 40 cm → Raio (r) = 20 cm.
• Altura Total (htotal​) = 60 cm.
• π=3,14.
• Quantidade = 10 placas.

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos “desmontar” a placa:

1. A Parte Curva (Semicírculo):
A parte de cima da placa é metade de um círculo.

• O diâmetro é 40 cm, logo o raio é 20 cm.
• A altura dessa “tampa” curva é igual ao raio: 20 cm.

2. A Parte Reta (Retângulo):
A placa tem altura total de 60 cm.
Se a parte curva ocupa 20 cm (o raio) lá em cima, quanto sobra para a parte reta embaixo?

• Alturaretângulo​=Alturatotal​−Raio.
• Alturaretaângulo​=60−20=40 cm.
• A largura (base) do retângulo é igual ao diâmetro: 40 cm.
• Conclusão: A parte de baixo é um Quadrado de 40×40.

3. Calculando as Áreas:

• Área do Quadrado: 40×40=1600cm².
• Área do Semicírculo: π⋅r​²​=3,14⋅20​²/2=3,14⋅400/2​.
  • Simplificando: 3,14⋅200=628cm​².

4. Somando Tudo:

• Área de 1 Placa = 1600+628=2228cm​².

5. O Grand Finale (x10):

• São 10 placas.
• Total=2228×10=22.280cm​².

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum é usar a altura total (60) como altura do retângulo, calculando 

40×60=2400

.
Lembre-se: o topo da placa é curvo! A altura de 60 cm inclui a pontinha do círculo. Você precisa descontar o raio (20 cm) para achar a altura da parte retangular.

A Bússola (O Perfil do Culpado):

• Síntese do raciocínio: 1 Placa = Quadrado (1600) + Semicírculo (628) = 2228. Total = 22280.
• Expectativa: O valor exato 22.280.

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

• A) 16 628
  • O Diagnóstico do Erro: Erro de Geometria.
  • Cálculo: O aluno pode ter calculado a área do retângulo total (40×60=2400) e subtraído algo errado, ou somado áreas incompatíveis. Não segue uma lógica direta de erro comum, talvez um erro aritmético grosseiro.
  • Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
• B) 22 280
  • Análise de Correspondência: Cálculo perfeito. Considerou a decomposição correta (Quadrado 40×40 + Semicírculo raio 20) e multiplicou por 10.
  • Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
• C) 28 560
  • O Diagnóstico do Erro: Área do Círculo Inteiro.
  • Cálculo: Quadrado (1600) + Círculo Inteiro (3,14×400=1256).
  • Soma = 2856. x10 = 28.560. O aluno esqueceu de dividir a área do círculo por 2 (é um semicírculo!).
  • Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
• D) 41 120
  • O Diagnóstico do Erro: Confusão na Altura.
  • Cálculo: Talvez tenha usado a altura total no retângulo (40×60=2400) e somado o círculo inteiro ou algo similar, superestimando a área.
  • Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
• E) 66 240
  • O Diagnóstico do Erro: Erro de Fórmula.
  • Cálculo: Possivelmente usou o diâmetro como raio (40​²=1600) na fórmula do círculo? π⋅1600=5024. Somado ao retângulo dá valores muito altos.
  • Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento:
Para calcular a área de figuras complexas, a estratégia de “dividir para conquistar” é imbatível: ao separar a placa em um quadrado e um semicírculo, encontramos a área exata e evitamos a armadilha de usar a altura total indevidamente.

Resumo-flash (A Imagem Mental):
🔲 Quadrado: 40×40 = 1600.
🍕 Meia Pizza: (3,14 x 400) / 2 = 628.
∑ Total: (1600 + 628) x 10 = 22.280.

🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conexão com Design e Manufatura (Corte a Laser):
Se você fosse cortar essas placas em uma máquina CNC ou Laser, o computador faria exatamente esse cálculo para otimizar o uso da chapa de metal (Nesting). Saber calcular a área exata é fundamental para comprar a quantidade certa de material bruto e tinta, evitando desperdícios que, na indústria, custam milhões. A geometria escolar é a base do orçamento industrial!