Uma empresa presta serviço de abastecimento de água em uma cidade. O valor mensal a pagar por esse serviço é determinado pela aplicação de tarifas, por faixas de consumo de água, sendo obtido pela adição dos valores correspondentes a cada faixa.
• Faixa 1: para consumo de até 6 m², valor fixo de R$12,00;
• Faixa 2: para consumo superior a 6 m³ e até 10 m³, tarifa de R$ 3,00 por metro cúbico ao que exceder a 6m³;
• Faixa 3: para consumo superior a 10 m³, tarifa de R$ 6,00 por metro cúbico ao que exceder a 10 m³. Sabe-se que nessa cidade o consumo máximo de água por residência é de 15 m² por mês.
O gráfico que melhor descreve o valor P, em real, a ser pago por mês, em função do volume V de água consumido, em metro cúbico, é
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Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Matemática: Funções do 1º Grau e Funções Definidas por Várias Sentenças (Funções por Partes).
Geometria Analítica: Interpretação de Gráficos (Coeficiente Angular e Inclinação).
Tema/Objetivo Geral:
Construção e análise de gráficos que representam custos variáveis por faixas de consumo (progressividade tarifária).
Nível da Questão: Médio.
A questão exige a tradução de um texto com múltiplas condições (se… então…) para uma representação visual única. O aluno precisa identificar três comportamentos distintos (constante, crescimento linear moderado, crescimento linear acelerado) e conectá-los corretamente nos pontos de quebra (6 e 10).
Gabarito: A.
O gráfico correto deve apresentar três segmentos de reta conectados:
Horizontal (custo constante) até V=6.
Inclinado (custo variável de R$ 3,00) entre V=6 e V=10.
Mais inclinado ainda (custo variável de R$ 6,00, o dobro da inclinação anterior) após V=10.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A questão descreve como se cobra a conta de água: o preço muda dependendo de quanto você gasta. O objetivo é desenhar a “curva” do preço (P) versus volume (V) seguindo as regras de cada faixa de consumo.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine um táxi com regras estranhas:
Km 0 ao 6: O taxímetro está travado em R$ 12,00. Não importa se você andou 1m ou 6km, paga o mesmo. (Gráfico reto deitado).
Km 6 ao 10: O taxímetro acorda e começa a cobrar R$ 3,00 por km. (Gráfico sobe a ladeira).
Km 10 em diante: O taxímetro fica “nervoso” e dobra o preço para R$ 6,00 por km. (Gráfico sobe a ladeira muito mais íngreme). Temos que achar o desenho que mostra essa viagem: Reto → Subida → Subida Forte.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
Analisar o comportamento do gráfico na Faixa 1 (0 a 6).
Analisar a mudança de inclinação na Faixa 2 (6 a 10).
Analisar a mudança de inclinação na Faixa 3 (10 a 15).
Eliminar os gráficos que não seguem esse padrão de inclinações.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para decifrar o gráfico, precisamos entender o conceito de Inclinação da Reta.
Dossiê Técnico: Inclinação (Coeficiente Angular)
Elemento da Função
Significado Gráfico
No Problema
Valor Fixo
Inclinação Zero (Reta Horizontal).
Faixa 1 (Custo R$ 0,00 por m³ adicional).
Taxa Variável Pequena
Inclinação Suave.
Faixa 2 (Custo R$ 3,00 por m³).
Taxa Variável Grande
Inclinação Íngreme (Quase vertical).
Faixa 3 (Custo R$ 6,00 por m³).
A Regra Visual: Quanto mais caro o metro cúbico, mais “em pé” fica a linha do gráfico naquele trecho.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos desenhar o gráfico mentalmente, passo a passo:
Trecho 1: O Consumo Mínimo (0 a 6 m³) O texto diz: “valor fixo de R$ 12,00”. Isso significa que, se eu gastar 1, 2, 5 ou 6, eu pago 12. O preço não muda.
Visual: Uma linha horizontal paralela ao eixo V.
Eliminação: Olhe para as alternativas.
B e E começam subindo. (Eliminadas ❌).
A, C, D começam horizontal. (Continuam no jogo).
Trecho 2: O Consumo Médio (6 a 10 m³) O texto diz: “tarifa de R$ 3,00 por metro cúbico”. Agora, para cada passo para a direita (volume), damos 3 passos para cima (preço). O gráfico começa a subir.
Visual: Uma reta inclinada conectada ao final do trecho horizontal.
Trecho 3: O Consumo Alto (10 a 15 m³) O texto diz: “tarifa de R$ 6,00 por metro cúbico”. Agora, para cada passo para a direita, damos 6 passos para cima. O preço dobra de velocidade! A reta precisa ficar duas vezes mais inclinada (mais empinada) do que no trecho anterior.
Visual: Uma reta muito mais íngreme conectada ao final do segundo trecho.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨 CUIDADO! Muita gente confunde “valor acumulado” com “valor da faixa”. O gráfico mostra o Total a Pagar. Não é que o gráfico desce ou fica reto de novo. Como você continua gastando água, a conta continua subindo, e cada vez mais rápido. O gráfico nunca pode ser horizontal depois do 6, e nunca pode descer.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
Síntese do raciocínio: Horizontal → Inclinada → Mais Inclinada.
Expectativa: Gráfico quebrado em 3 partes, ficando cada vez mais íngreme.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A)
Análise de Correspondência:
Horizontal até 6? Sim.
Sobe entre 6 e 10? Sim.
Sobe mais forte (maior ângulo) depois do 10? Sim. Esta alternativa respeita perfeitamente a progressividade das tarifas (0 → 3 → 6).
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
B)
O Diagnóstico do Erro:Ignorou a tarifa fixa.
Por que está incorreta: O gráfico começa subindo desde o zero. Isso implicaria que quem consome 1 m³ paga menos que quem consome 6 m³. O texto diz que até 6 é fixo.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C)
O Diagnóstico do Erro:Inversão de Lógica.
Por que está incorreta: O último trecho volta a ser horizontal (fixo). Isso significaria que, acima de 10 m³, a água vira de graça (preço não aumenta mais). O texto diz que fica mais cara (R$ 6,00).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D)
O Diagnóstico do Erro:Suavização Indevida.
Por que está incorreta: O terceiro trecho parece ter a mesma inclinação ou até menor que o segundo. A tarifa dobrou (de 3 para 6), então a inclinação visual deveria aumentar drasticamente, o que não é nítido aqui. Além disso, parece uma reta única após o 6 em alguns traços, ignorando a quebra no 10.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E)
O Diagnóstico do Erro:Erro Inicial.
Por que está incorreta: Assim como na B, o gráfico começa inclinado, ignorando o custo fixo inicial. Além disso, as inclinações parecem não seguir a proporção correta de aumento.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Gráficos de tarifas progressivas são “escadas de inclinação”: cada degrau de consumo introduz uma taxa maior, fazendo a reta do preço “empinar” cada vez mais (Alternativa A), refletindo o custo crescente da água.
Resumo-flash (A Imagem Mental): 🚰 Até 6: Água parada (Reta deitada). 💧 6 a 10: Água correndo (Subida leve). 🌊 +10: Enxurrada (Subida forte).
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): Conexão com o Imposto de Renda (IR): Este mesmo gráfico se aplica ao Imposto de Renda Progressivo.
O gráfico do “Imposto a Pagar” vs “Salário” tem exatamente essa cara: começa suave e vai ficando cada vez mais inclinado (embora nunca vertical). Entender esse gráfico é entender como o governo cobra quem ganha mais!
Até um certo salário (faixa de isenção), a alíquota é 0% (reta horizontal no gráfico de alíquota efetiva marginal).
Conforme você ganha mais, entra em faixas de 7,5%, 15%, 27,5%…
