Um administrador resolve estudar o lucro de sua empresa e, para isso, traça o gráfico da receita e do custo de produção de seus itens, em real, em função da quantidade de itens produzidos.
O lucro é determinado pela diferença: Receita – Custo.
O gráfico que representa o lucro dessa empresa, em função da quantidade de itens produzidos, é
Resolução Em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Análise de Gráficos)
- Funções (Operações com Funções: Subtração)
🎯 Tema/Objetivo Geral
Construção do gráfico da função lucro (Lucro = Receita – Custo) a partir da análise visual dos gráficos das funções receita e custo.
📊 Nível da Questão
Médio.
Por quê? A questão não exige cálculos precisos, mas uma análise qualitativa e a habilidade de “subtrair” visualmente um gráfico de outro. É preciso identificar os pontos-chave (onde o lucro é zero, máximo ou mínimo) e analisar o comportamento da função lucro nos intervalos entre esses pontos.
✅ Gabarito
Alternativa A.
Resumo: O gráfico do lucro é construído subtraindo-se o valor do custo do valor da receita para cada quantidade de itens. O lucro é zero quando as curvas se cruzam, positivo quando a receita está acima do custo, e negativo quando o custo está acima da receita. A análise ponto a ponto do gráfico original corresponde ao formato do gráfico da alternativa A.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“O lucro é determinado pela diferença: Receita – Custo. O gráfico que representa o lucro dessa empresa […] é”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para identificar, entre as cinco opções, qual gráfico representa corretamente a função Lucro(x) = Receita(x) – Custo(x).
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é analisar o gráfico original e “desenhar” mentalmente o gráfico do lucro, prestando atenção nos seguintes pontos cruciais:
- Onde o lucro é zero? (Onde as curvas de receita e custo se cruzam).
- Onde o lucro é positivo? (Onde a curva de receita está acima da curva de custo).
- Onde o lucro é negativo (prejuízo)? (Onde a curva de receita está abaixo da curva de custo).
- Onde o lucro é máximo ou mínimo? (Onde a distância vertical entre as curvas é maior).
🧠 Se em um ponto a curva de Custo está acima da de Receita, o lucro será positivo ou negativo? Lembrar que Lucro = Receita – Custo é fundamental para não inverter os sinais.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Função Receita (R(x)): O valor total obtido com a venda de x itens. No gráfico, é a curva mais “suave”.
- Função Custo (C(x)): O valor total gasto para produzir x itens. No gráfico, é a curva mais “pontuda”.
- Função Lucro (L(x)): A diferença entre a receita e o custo.
- L(x) = R(x) – C(x)
- Análise Gráfica da Subtração: Para encontrar o valor de L(x) em um ponto x, medimos a “altura” da curva de Receita e subtraímos a “altura” da curva de Custo.
- Se R(x) > C(x) → L(x) é positivo.
- Se R(x) < C(x) → L(x) é negativo.
- Se R(x) = C(x) → L(x) é zero.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Temos os gráficos de quanto dinheiro entra (Receita) e quanto sai (Custo). O Lucro é o “saldo” dessa conta (Receita – Custo). Nossa missão é criar o gráfico desse saldo, analisando o gráfico original em trechos.
Estratégia Geral 🗺️
Nossa estratégia será uma análise por intervalos, identificando os pontos onde o lucro é zero e verificando se o lucro é positivo (Receita > Custo) ou negativo (Custo > Receita) entre esses pontos.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
- Identificar os Pontos de Lucro Zero: O lucro é zero quando Receita = Custo, ou seja, onde as curvas se cruzam. Observando o gráfico, isso acontece em x = 5 e aproximadamente em x = 20. Nesses pontos, o gráfico do lucro deve tocar o eixo horizontal (valor zero).
- Analisar o Intervalo de 5 a 20:
- Neste trecho, a curva de Custo (a que sobe mais rápido no início) está acima da curva de Receita.
- Isso significa que Custo > Receita, portanto, o Lucro é negativo (prejuízo).
- O prejuízo é máximo (o ponto mais baixo do vale no gráfico do lucro) onde a distância vertical entre as curvas é maior, por volta de x = 10. Nesse ponto, Custo ≈ 45 e Receita ≈ 25, logo, Lucro ≈ 25 – 45 = -20.
- Analisar o Intervalo após 20:
- Para x > 20, a curva de Receita (a mais suave e que atinge o pico mais tarde) está acima da curva de Custo.
- Isso significa que Receita > Custo, portanto, o Lucro é positivo.
- O lucro é máximo (o ponto mais alto do pico no gráfico do lucro) onde a distância vertical é maior, por volta de x = 25. Nesse ponto, Receita ≈ 50 e Custo ≈ 10, logo, Lucro ≈ 50 – 10 = 40.
Resumo do Gráfico do Lucro:
- Começa em 0 (x=5).
- Torna-se negativo, atingindo um mínimo (vale) em x≈10.
- Volta a ser 0 (x≈20).
- Torna-se positivo, atingindo um máximo (pico) em x≈25.
- Começa a diminuir após x=25.
Este comportamento corresponde exatamente ao gráfico da Alternativa A.
Passo 5: Análise das Alternativas
🟢 A) Mostra um vale de prejuízo entre x=5 e x=20, e um pico de lucro após x=20. Corresponde à análise.
🔴 B) Mostra um pico de lucro primeiro e depois um vale de prejuízo, o que representaria Custo – Receita.
🔴 C) Mostra dois picos de lucro, o que é incorreto.
🔴 D) Tem a forma correta, mas sugere um lucro inicial antes de x=5, o que não está nos dados.
🔴 E) Parece representar apenas a curva de Receita, não a de Lucro.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
Para construir o gráfico do lucro, definido como a diferença entre Receita e Custo, analisamos o gráfico original. O lucro é nulo onde as curvas se cruzam (x=5 e x≈20). No intervalo entre 5 e 20, a curva de Custo é superior à de Receita, gerando um lucro negativo (prejuízo), com um valor mínimo em x≈10. Após x=20, a Receita supera o Custo, gerando um lucro positivo, com um valor máximo em x≈25. O único gráfico que representa corretamente essa sequência — começando em zero, passando por um vale de prejuízo e depois subindo para um pico de lucro — é o da alternativa A.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a A.
Resumo Final para Revisão 🔍
Ao subtrair gráficos, pense em “distância vertical”. Onde as curvas se cruzam, a distância é zero. Onde estão mais afastadas, o valor (lucro ou prejuízo) é máximo. E preste muita atenção em qual curva está por cima para definir o sinal (positivo ou negativo) do resultado.
