No período de fim de ano, o síndico de um condomínio resolveu colocar, em um poste, uma iluminação natalina em formato de cone, lembrando uma árvore de Natal, conforme as figuras 1 e 2.
A árvore deverá ser feita colocando-se mangueiras de iluminação, consideradas segmentos de reta de mesmo comprimento, a partir de um ponto situado a 3 m de altura no poste até um ponto de uma circunferência de fixação, no chão, de tal forma que esta fique dividida em 20 arcos iguais. O poste está fixado no ponto C (centro da circunferência) perpendicularmente ao plano do chão.
Para economizar, ele utilizará mangueiras de iluminação aproveitadas de anos anteriores, que juntas totalizaram pouco mais de 100 m de comprimento, dos quais ele decide usar exatamente 100 m e deixar o restante como reserva.
Para que ele atinja seu objetivo, o raio, em metro, da circunferência deverá ser de
a) 4,00.
b) 4,87.
c) 5,00.
d) 5,83.
e) 6,26.
Resolução Em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Cone, Teorema de Pitágoras)
- Geometria Plana (Relações Métricas no Triângulo Retângulo)
- Aritmética
🎯 Tema/Objetivo Geral
Cálculo de uma das dimensões (o raio da base) de um cone, a partir do comprimento total das geratrizes e da altura.
📊 Nível da Questão
Fácil.
Por quê? A questão se resume a um problema clássico de aplicação do Teorema de Pitágoras. O aluno precisa identificar o triângulo retângulo formado pela altura do poste, o raio da base e a mangueira de iluminação (geratriz do cone), e então usar a fórmula para encontrar o cateto desconhecido (o raio).
✅ Gabarito
Alternativa A.
Resumo: O problema é resolvido identificando-se que a estrutura forma um cone. As mangueiras de iluminação são as geratrizes do cone. Calculando o comprimento de cada uma das 20 mangueiras (100 m / 20 = 5 m), podemos usar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pela altura do poste (cateto), o raio da base (outro cateto) e a mangueira (hipotenusa) para encontrar o valor do raio.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Para que ele atinja seu objetivo, o raio, em metro, da circunferência deverá ser de”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para calcular o raio da base circular da “árvore” de Natal.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é:
- Descobrir o comprimento de uma única mangueira de iluminação.
- Identificar o triângulo retângulo na estrutura do cone.
- Aplicar o Teorema de Pitágoras para encontrar o raio.
🧠 Na figura 2, a altura do poste (h), o raio da circunferência (que chamaremos de ‘r’) e uma das mangueiras de luz (que chamaremos de ‘g’) formam que tipo de figura geométrica? Reconhecer essa figura é a chave para a resolução!
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Cone Reto: É um sólido geométrico formado por uma base circular e um vértice. Em um cone reto, o eixo (a linha que une o vértice ao centro da base) é perpendicular à base. A estrutura da árvore de Natal é um cone reto.
- Elementos do Cone:
- Altura (h): A distância do vértice ao centro da base. No problema, h = 3 m.
- Raio da Base (r): O raio do círculo que forma a base. É o que queremos descobrir.
- Geratriz (g): É qualquer segmento de reta que une o vértice a um ponto na circunferência da base. No problema, as mangueiras de iluminação são as geratrizes.
- Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
- a² = b² + c²
- Relação no Cone Reto: A altura (h), o raio (r) e a geratriz (g) de um cone reto formam um triângulo retângulo, onde a geratriz é a hipotenusa.
- g² = h² + r²
O que já sabemos a partir do enunciado?
- O poste tem 3 metros de altura.
- A iluminação é composta por 20 segmentos de mesma medida.
- O comprimento total das mangueiras é 100 metros. Cada segmento de mangueira tem exatamente 5 metros de comprimento, pois o comprimento total das mangueiras foi dividido igualmente entre os 20 segmentos.
- Queremos descobrir o raio da base da circunferência onde as luzes serão fixadas.
Para isso, aplicamos o Teorema de Pitágoras.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine a árvore de Natal como um cone. O poste no meio é a altura (h). O círculo no chão é a base, e a gente quer saber o raio (r) dele. As luzinhas (mangueiras) que vão do topo do poste até o chão são a “lateral inclinada” do cone, a geratriz (g).
O problema nos dá as seguintes informações:
- A altura do poste é de 3 metros (h=3).
- A soma do comprimento de todas as luzinhas é de 100 metros.
- Serão usadas 20 luzinhas (mangueiras) de mesmo tamanho.
Nossa missão é usar essas informações para descobrir o valor de ‘r’. O plano é simples: primeiro, achamos o tamanho de UMA luzinha. Depois, usamos o Teorema de Pitágoras no triângulo h-r-g.
Estratégia Geral 🗺️
- Calcular ‘g’: Dividir o comprimento total das mangueiras pelo número de mangueiras.
- Aplicar Pitágoras: Usar a fórmula g² = h² + r² para isolar e calcular r.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
Etapa 1: Calcular o comprimento de cada mangueira (geratriz, g)
- Comprimento total das mangueiras = 100 m
- Número de mangueiras = 20
- Comprimento de uma mangueira (g) = Comprimento total / Número de mangueiras
- g = 100 m / 20
- g = 5 m
Etapa 2: Aplicar o Teorema de Pitágoras
- Temos um triângulo retângulo formado por:
- Hipotenusa = geratriz (g) = 5 m
- Cateto 1 = altura (h) = 3 m
- Cateto 2 = raio (r) = ?
- Fórmula: g² = h² + r²
- Substituindo os valores:
- 5² = 3² + r²
- 25 = 9 + r²
- Isolando r²:
- r² = 25 – 9
- r² = 16
- Calculando r:
- r = √16
- r = 4 m
Conclusão: O raio da circunferência deverá ser de 4,00 metros.
A Armadilha Comum 🚨
A armadilha mais comum em problemas de Pitágoras é confundir os catetos com a hipotenusa. É crucial lembrar que a hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo reto e, no caso do cone, é a geratriz (o lado inclinado). Outro erro seria não calcular o comprimento de uma única mangueira e tentar usar o valor de 100m diretamente na fórmula, o que não faria sentido.
Fechamento e Expectativa
O cálculo nos levou a um resultado de 4 metros. Agora, vamos procurar essa resposta nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
🟢 A) 4,00. Correta. Corresponde exatamente ao valor do raio calculado.
🔴 B) 4,87.
🔴 C) 5,00. Incorreta. Este é o valor da geratriz (comprimento da mangueira), não do raio.
🔴 D) 5,83.
🔴 E) 6,26.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O problema descreve uma estrutura cônica de iluminação. As 20 mangueiras, totalizando 100 metros, formam as geratrizes do cone. O comprimento de cada mangueira (geratriz, g) é de 100 m / 20 = 5 m. A altura do poste (h = 3 m), o raio da base (r) e a geratriz (g) formam um triângulo retângulo. Aplicando o Teorema de Pitágoras (g² = h² + r²), temos 5² = 3² + r². Resolvendo a equação, encontramos r² = 16, e, portanto, o raio da circunferência é r = 4 metros.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a A.
Resumo Final para Revisão 🔍
Reconheceu um cone reto? Lembre-se do triângulo retângulo mágico formado por (altura, raio, geratriz). Se você tiver duas dessas medidas, o Teorema de Pitágoras sempre te dará a terceira.
