Pergolado é o nome que se dá a um tipo de cobertura projetada por arquitetos, comumente em praças e jardins, para criar um ambiente para pessoas ou plantas, no qual há uma quebra da quantidade de luz, dependendo da posição do sol. É feito como um estrado de vigas iguais, postas paralelas e perfeitamente em fila, como ilustra a figura.
Um arquiteto projeta um pergolado com vãos de 30 cm de distância entre suas vigas, de modo que, no solstício de verão, a trajetória do sol durante o dia seja realizada num plano perpendicular à direção das vigas, e que o sol da tarde, no momento em que seus raios fizerem 30° com a posição a pino, gere a metade da luz que passa no pergolado ao meio-dia.
Para atender à proposta do projeto elaborado pelo arquiteto, as vigas do pergolado devem ser construídas de maneira que a altura, em centímetro, seja a mais próxima possível de
a) 9.
b) 15.
c) 26.
d) 52.
e) 60.
Resolução Em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana (Trigonometria no Triângulo Retângulo)
- Física (Óptica Geométrica: Sombra)
- Interpretação de Problemas com Modelagem Geométrica
🎯 Tema/Objetivo Geral
Aplicação da trigonometria (relação da tangente) para calcular uma dimensão (altura da viga) em um problema de sombreamento, a partir de condições de iluminação específicas.
📊 Nível da Questão
Difícil.
Por quê? A questão é abstrata e exige uma modelagem geométrica cuidadosa do problema. O aluno precisa: 1) Entender o que significa “metade da luz que passa”, traduzindo isso para a projeção da sombra. 2) Identificar o triângulo retângulo correto na situação. 3) Aplicar a função trigonométrica adequada (tangente) para relacionar a altura da viga com a sombra projetada.
✅ Gabarito
Alternativa C.
Resumo: O problema é resolvido modelando a situação com um triângulo retângulo. A condição de “metade da luz” significa que a sombra projetada pela viga deve ter 15 cm (metade do vão de 30 cm). O ângulo de 30° é entre o raio solar e a vertical (“a pino”). Este ângulo é o ângulo oposto ao cateto da sombra. A altura da viga é o cateto adjacente. Usando a relação da tangente (tan(30°) = sombra/altura), e sabendo que tan(30°) ≈ 0,577, calcula-se a altura, que resulta em aproximadamente 26 cm.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Para atender à proposta do projeto elaborado pelo arquiteto, as vigas do pergolado devem ser construídas de maneira que a altura, em centímetro, seja a mais próxima possível de”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para calcular a altura (h) das vigas do pergolado.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é montar um modelo geométrico (um triângulo retângulo) que relacione a altura da viga (h), a sombra que ela projeta e o ângulo dos raios solares, para então usar a trigonometria para encontrar h.
🧠 O ângulo de 30° é com a horizontal ou com a vertical (“a pino”)? E o que significa “metade da luz que passa”? Entender esses dois pontos é crucial para montar o triângulo e a equação corretamente.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Solstício de Verão: Dia do ano com o maior período de luz solar. Ao meio-dia, o sol está no ponto mais alto do céu (a pino).
- Posição a Pino: A direção vertical, diretamente acima.
- Ângulo de 30° com a posição a pino: Significa que o raio solar forma um ângulo de 30° com a linha vertical.
- “Metade da luz que passa no pergolado ao meio-dia”:
- Ao meio-dia: Com o sol a pino, os raios vêm de cima, paralelos às vigas. A luz passa por todo o vão de 30 cm. A área iluminada é máxima.
- “Metade da luz”: Significa que a área iluminada entre as vigas deve ser reduzida à metade. Como o comprimento é constante, isso significa que a largura da faixa de luz deve ser metade do vão. A outra metade será a sombra projetada pela viga.
- Conclusão: A sombra projetada pela viga deve ter uma largura de 30 cm / 2 = 15 cm.
- Trigonometria no Triângulo Retângulo:
- Tangente (tan): tan(ângulo) = (Cateto Oposto) / (Cateto Adjacente)
- Valor de tan(30°): tan(30°) = √3 / 3 ≈ 1,732 / 3 ≈ 0,577.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine uma única viga do pergolado. Quando o sol está bem em cima (a pino), a sombra dela é só um risquinho fino no chão. Mas conforme o sol se inclina, a viga projeta uma sombra lateral. O arquiteto quer que, quando o sol fizer um ângulo de 30° com a vertical, a sombra projetada pela viga cubra exatamente metade do espaço até a próxima viga.
Temos um quebra-cabeça trigonométrico:
- O espaço entre as vigas é 30 cm.
- A sombra (s) precisa ter 15 cm.
- O ângulo (α) dos raios com a vertical é 30°.
- A altura da viga é h.
A sombra (s) e a altura (h) formam os catetos de um triângulo retângulo. A pergunta é: qual o valor de h?
Estratégia Geral 🗺️
- Desenhar o triângulo retângulo formado pela altura da viga, a sombra projetada e o raio solar.
- Identificar corretamente os catetos e o ângulo.
- Aplicar a relação da tangente para encontrar a altura h.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
Etapa 1: Modelar a situação geometricamente
- Vamos desenhar um corte transversal do pergolado. Temos a viga de altura h.
- O raio solar entra com um ângulo de 30° em relação à vertical (a pino).
- A viga projeta uma sombra horizontal no chão, de comprimento s.
- A altura da viga (h), a sombra (s) e o raio solar formam um triângulo retângulo. Neste desenho, h é um cateto, s é o outro cateto, e o raio solar é a hipotenusa.
Etapa 2: Identificar os elementos do triângulo
- Ângulo: O ângulo dentro do triângulo, entre a altura h (que é vertical) e o raio solar (a hipotenusa), é exatamente o ângulo dado: 30°.
- Cateto Oposto ao ângulo de 30°: É a sombra, s.
- Cateto Adjacente ao ângulo de 30°: É a altura da viga, h.
Etapa 3: Determinar o valor da sombra (s)
- A condição é que a luz passe por metade do vão. O vão é de 30 cm.
- Largura da faixa de luz = Largura da faixa de sombra = 30 / 2 = 15 cm.
- Portanto, s = 15 cm.
Etapa 4: Aplicar a tangente e resolver para h
- A relação que conecta o cateto oposto, o cateto adjacente e o ângulo é a tangente.
- tan(30°) = (Cateto Oposto) / (Cateto Adjacente)
- tan(30°) = s / h
- Precisamos do valor de tan(30°). Se o ENEM não fornecer, usamos o valor conhecido: tan(30°) = √3 / 3 ≈ 0,577.
- Substituindo os valores:
- 0,577 = 15 / h
- Isolando h:
- h = 15 / 0,577
- h ≈ 26,0 cm
Conclusão: A altura da viga deve ser o mais próximo possível de 26 cm.
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha é a interpretação do ângulo. O problema diz “30° com a posição a pino” (vertical). Se o aluno usasse o ângulo complementar, 60° (ângulo com a horizontal), o cálculo da tangente daria um resultado diferente: tan(60°) = h / s → √3 = h / 15 → h = 15√3 ≈ 26 cm. Neste caso específico, usar o ângulo errado (60°) mas também inverter os catetos (h como oposto e s como adjacente) leva à resposta certa por sorte! A forma correta é usar o ângulo de 30° com s como cateto oposto.
Fechamento e Expectativa
O cálculo trigonométrico nos levou a um resultado de aproximadamente 26 cm.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 9.
🔴 B) 15.
🟢 C) 26. Correta. Corresponde ao valor aproximado encontrado no cálculo.
🔴 D) 52.
🔴 E) 60.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O problema foi resolvido modelando a situação de sombreamento com um triângulo retângulo. A condição de que “metade da luz passa” implica que a sombra projetada pela viga deve ter metade da largura do vão, ou seja, 15 cm. Este comprimento da sombra é o cateto oposto ao ângulo de 30°, que é formado entre o raio solar e a vertical (a altura da viga). A altura da viga (h) é, portanto, o cateto adjacente. Aplicando a relação trigonométrica da tangente, tan(30°) = cateto oposto / cateto adjacente, temos tan(30°) = 15 / h. Utilizando o valor aproximado de tan(30°) ≈ 0,577, e resolvendo para h, encontramos h ≈ 15 / 0,577 ≈ 26 cm.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a C.
Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de sombra e trigonometria, o primeiro passo é sempre desenhar o triângulo retângulo. Identifique onde está o ângulo reto, o que é a altura, o que é a sombra, e, principalmente, qual dos dois ângulos agudos foi dado no problema. A partir daí, use SOH CAH TOA (Seno=O/H, Cosseno=A/H, Tangente=O/A).
