Pergolado é o nome que se dá a um tipo de cobertura projetada por arquitetos, comumente em praças e jardins, para criar um ambiente para pessoas ou plantas, no qual há uma quebra da quantidade de luz, dependendo da posição do sol. É feito como um estrado de vigas iguais, postas paralelas e perfeitamente em fila, como ilustra a figura.
Um arquiteto projeta um pergolado com vãos de 30 cm de distância entre suas vigas, de modo que, no solstício de verão, a trajetória do sol durante o dia seja realizada num plano perpendicular à direção das vigas, e que o sol da tarde, no momento em que seus raios fizerem 30° com a posição a pino, gere a metade da luz que passa no pergolado ao meio-dia.
Para atender à proposta do projeto elaborado pelo arquiteto, as vigas do pergolado devem ser construídas de maneira que a altura, em centímetro, seja a mais próxima possível de
a) 9.
b) 15.
c) 26.
d) 52.
e) 60.
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Trigonometria básica
- Proporções em triângulos retângulos
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: Letra C (26cm).
Passo 1: Tradução e Interpretação do Texto
Imagine que o sol está iluminando um pergolado. Esse pergolado tem vigas que fazem sombra. Dependendo do horário do dia, a posição do sol muda, e a sombra também.
O que já sabemos do enunciado?
- As vigas estão separadas por 30 cm.
- Ao meio-dia, o sol está bem em cima e passa entre as vigas iluminando 30 cm no chão.
- Mais tarde, quando o sol se inclina 30° em relação ao pergolado, ele bate nas vigas e a sombra da luz passa a ser de apenas 15 cm no chão.
- O que precisamos descobrir? A altura das vigas para que essa sombra aconteça corretamente.
O que está acontecendo aqui?
- O sol, as vigas e o chão formam um triângulo retângulo.
- O comprimento da sombra no chão é 15 cm (em vez de 30 cm ao meio-dia).
- O ângulo da luz do sol em relação ao chão é de 60°.
Para achar a altura das vigas, usamos um conceito chamado tangente de um ângulo. Agora, vamos entender esse conceito antes de resolver.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
O que é tangente e como ela ajuda?
A tangente de um ângulo (tan) é uma razão trigonométrica que relaciona os catetos de um triângulo retângulo.
Definição matemática:
Em um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo θ é dada pela razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente:
tan (θ) = Cateto oposto/Cateto adjacente
Exemplo aplicado à questão:
No problema do pergolado:
- O cateto oposto é a altura da viga h, que queremos descobrir.
- O cateto adjacente é a sombra projetada no chão (15 cm).
- O ângulo θ entre a luz do sol e o chão é 60°.
Como a tangente relaciona essas grandezas, podemos usar a fórmula:
tan(60°)=h/15
E a partir disso, resolvemos para encontrar h.
Dica geral⚠️: Essa relação é muito útil em problemas que envolvem alturas e projeções, como sombras, rampas e inclinações. Por isso, é vantajoso que você decore as tangentes de 30°, 45° e 60°. Questões que envolvem esses valores são recorrentes em provas.
Passo 3: Desenvolvimento do raciocínio e cálculos
Usamos a fórmula:
tan(60°)=h/15
Substituímos o valor de tan(60°):
√3= h/15
Sabemos que √3 vale aproximadamente 1,7:
1,7=h/15
Agora multiplicamos por 15 para encontrar h:
h=15×1,7
h=25,5
✔ A altura correta das vigas deve ser próxima 25,5 cm.
✅ Agora podemos confirmar a alternativa correta: Letra C (26 cm).
Passo 4: Conclusão e Justificativa Final
O que fizemos?
- Modelamos o problema como um triângulo retângulo.
- Aplicamos a tangente do ângulo de 60°, pois o sol inclinado forma esse ângulo com o chão.
- Descobrimos que a altura das vigas deve ser próxima de 25,5 cm para que a sombra projetada seja de 15 cm.
- Verificamos que a alternativa correta é a letra C (26 cm).
🚀 Conclusão: Esse problema mostra como a trigonometria ajuda a resolver situações práticas, como o design de estruturas que aproveitam a luz natural de forma planejada.
