Um grupo sanguíneo, ou tipo sanguíneo, baseia-se na presença ou ausência de dois antígenos, A e B, na superfície das células vermelhas do sangue. Como dois antígenos estão envolvidos, os quatro tipos sanguíneos distintos são:
• Tipo A: apenas o antígeno A está presente;
• Tipo B: apenas o antígeno B está presente;
• Tipo AB: ambos os antígenos estão presentes;
• Tipo O: nenhum dos antígenos está presente.
Disponível em: http://saude.hsw.uol.com.br. Acesso em: 15 abr. 2012 (adaptado).
Foram coletadas amostras de sangue de 200 pessoas e, após análise laboratorial, foi identificado que em 100 amostras está presente o antígeno A, em 110 amostras há presença do antígeno B e em 20 amostras nenhum dos antígenos está presente.
Dessas pessoas que foram submetidas à coleta de sangue, o número das que possuem o tipo sanguíneo A é igual a
a) 30
b) 60
c) 70
d) 90
e) 100
Resolução Em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Teoria dos Conjuntos, Diagrama de Venn)
- Raciocínio Lógico
🎯 Tema/Objetivo Geral
Resolução de um problema de teoria dos conjuntos, utilizando o Diagrama de Venn, para determinar o número de elementos pertencentes exclusivamente a um dos conjuntos.
📊 Nível da Questão
Médio.
Por quê? O problema exige a compreensão de que os dados fornecidos (“presença do antígeno A” e “presença do antígeno B”) incluem a interseção (o grupo AB). É preciso usar o princípio da inclusão-exclusão ou o Diagrama de Venn para encontrar o número de elementos de cada seção, especialmente o número de pessoas que são apenas do tipo A.
✅ Gabarito
Alternativa C.
Resumo: O problema é resolvido com o Diagrama de Venn. Sabemos que 20 pessoas são do tipo O (fora dos círculos A e B). Portanto, 180 pessoas têm pelo menos um dos antígenos (A união B). Usando a fórmula da união de conjuntos, n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B), encontramos a interseção (grupo AB) = 30. O número de pessoas do tipo A é o total de pessoas com o antígeno A (100) menos a interseção (30), resultando em 70.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Dessas pessoas que foram submetidas à coleta de sangue, o número das que possuem o tipo sanguíneo A é igual a”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para encontrar o número de pessoas que são exclusivamente do tipo A, ou seja, que têm apenas o antígeno A.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é usar os dados fornecidos sobre o número total de pessoas e a presença dos antígenos para preencher um Diagrama de Venn e encontrar o valor da região correspondente a “somente A”.
🧠 Quando o problema diz que “100 amostras está presente o antígeno A”, isso significa que são 100 pessoas do tipo A? Não! Esse número inclui tanto as pessoas que são do tipo A (só têm o antígeno A) quanto as que são do tipo AB (têm A e B). Entender essa pegadinha é a chave do problema!
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Teoria dos Conjuntos: Ramo da matemática que estuda as coleções de elementos.
- Diagrama de Venn: Representação visual de conjuntos e suas relações, usando círculos que se sobrepõem.
- União de Conjuntos (A U B): O conjunto de todos os elementos que pertencem a A, ou a B, ou a ambos.
- Interseção de Conjuntos (A ∩ B): O conjunto dos elementos que pertencem a A e a B simultaneamente.
- Princípio da Inclusão-Exclusão: A fórmula para calcular o número de elementos na união de dois conjuntos:
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
Onde n(X) é o número de elementos do conjunto X.
Mapeando o Problema para a Teoria dos Conjuntos:
- Universo (U) = Total de pessoas = 200.
- Conjunto A = Pessoas com o antígeno A = 100.
- Conjunto B = Pessoas com o antígeno B = 110.
- Tipo O = Pessoas sem antígeno A nem B = 20. (Estão fora dos círculos A e B).
- Tipo AB = Pessoas com ambos os antígenos = Interseção (A ∩ B). (É o que precisamos descobrir primeiro).
- Tipo A = Pessoas com apenas o antígeno A. (É o que a questão pede).
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine uma pesquisa em uma sala com 200 pessoas.
- Perguntamos: “Quem tem o antígeno A?”. 100 pessoas levantam a mão. (Mas algumas delas também podem ter o B!).
- Perguntamos: “Quem tem o antígeno B?”. 110 pessoas levantam a mão. (Mas algumas delas também podem ter o A!).
- 20 pessoas não levantaram a mão nenhuma vez (são do tipo O).
A pergunta final é: quantas pessoas levantaram a mão apenas na primeira pergunta (têm só o antígeno A)?
Para resolver isso, precisamos primeiro descobrir quantas pessoas “espertinhas” levantaram a mão nas duas perguntas (são do tipo AB).
Estratégia Geral 🗺️
Nossa estratégia será usar o Diagrama de Venn e o Princípio da Inclusão-Exclusão:
- Encontrar o número de pessoas que têm pelo menos um antígeno (União de A e B).
- Usar a fórmula da união para calcular o número de pessoas que têm ambos os antígenos (Interseção = Tipo AB).
- Calcular o número de pessoas que têm apenas o antígeno A (Tipo A), subtraindo a interseção do total de pessoas com o antígeno A.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
Etapa 1: Calcular o número de pessoas com pelo menos um antígeno (n(A U B))
- Total de pessoas = 200.
- Pessoas do tipo O (sem nenhum antígeno) = 20.
- O número de pessoas que têm A ou B (ou ambos) é o total menos as do tipo O.
- n(A U B) = 200 – 20 = 180 pessoas.
Etapa 2: Calcular o número de pessoas com ambos os antígenos (Tipo AB = n(A ∩ B))
- Vamos usar a fórmula da união: n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
- Dados:
- n(A U B) = 180
- n(A) = 100 (total com antígeno A)
- n(B) = 110 (total com antígeno B)
- Substituindo na fórmula:
- 180 = 100 + 110 – n(A ∩ B)
- 180 = 210 – n(A ∩ B)
- Isolando a interseção:
- n(A ∩ B) = 210 – 180
- n(A ∩ B) = 30
- Portanto, 30 pessoas são do tipo AB.
Etapa 3: Calcular o número de pessoas com apenas o antígeno A (Tipo A)
- O número total de pessoas com o antígeno A é 100.
- Esse total é a soma das pessoas que têm apenas A e das que têm A e B (o tipo AB).
- (Apenas A) + (A e B) = n(A)
- (Apenas A) + 30 = 100
- (Apenas A) = 100 – 30
- (Apenas A) = 70
Conclusão: O número de pessoas que possuem o tipo sanguíneo A é 70.
A Armadilha Comum 🚨
A armadilha fatal é interpretar “em 100 amostras está presente o antígeno A” como “100 pessoas são do tipo A” e marcar a alternativa E. É crucial entender que o conjunto de pessoas com o antígeno A inclui as do tipo A e as do tipo AB.
Fechamento e Expectativa
O cálculo utilizando a teoria dos conjuntos nos levou ao resultado de 70 pessoas. Agora, vamos procurar essa resposta nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 30.
Incorreta. Este é o número de pessoas do tipo AB.
🔴 B) 60.
Incorreta.
🟢 C) 70.
Correta. Este é o número de pessoas que têm apenas o antígeno A, ou seja, são do tipo sanguíneo A.
🔴 D) 90.
Incorreta.
🔴 E) 100.
Incorreta. Este é o número total de pessoas que possuem o antígeno A (tipo A + tipo AB).
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O problema foi resolvido utilizando a teoria dos conjuntos. De um total de 200 pessoas, 20 não possuem antígenos (tipo O), o que significa que 180 pessoas possuem pelo menos um dos antígenos (A ou B). Sabendo que 100 pessoas têm o antígeno A e 110 têm o antígeno B, aplicou-se o Princípio da Inclusão-Exclusão para encontrar a interseção: n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A U B) = 100 + 110 – 180 = 30. Este valor corresponde ao número de pessoas do tipo AB. Para encontrar o número de pessoas que são exclusivamente do tipo A, subtrai-se a interseção do total de pessoas com o antígeno A: 100 – 30 = 70.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a C.
Resumo Final para Revisão 🔍
Problemas com “A ou B”, “A e B” e “nenhum dos dois” são um convite para usar o Diagrama de Venn. Sempre comece preenchendo o que está do lado de fora dos conjuntos e, em seguida, use a fórmula da união (Total = A + B – Interseção + Nenhum) para encontrar a interseção. O resto fica fácil
