Num recipiente com a forma de paralelepípedo reto-retângulo, colocou-se água até a altura de 8 cm e um objeto, que ficou flutuando na superfície da água.
Para retirar o objeto de dentro do recipiente, a altura da coluna de água deve ser de, pelo menos, 15 cm. Para a coluna de água chegar até essa altura, é necessário colocar dentro do recipiente bolinhas de volume igual a 6 cm3 cada, que ficarão totalmente submersas.
O número mínimo de bolinhas necessárias para que se possa retirar o objeto que flutua na água, seguindo as instruções dadas, é de
a) 14
b) 16
c) 18
d) 30
e) 34
Resolução Em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Volume de Paralelepípedo)
- Aritmética
🎯 Tema/Objetivo Geral
Cálculo do número de objetos (bolinhas) de volume conhecido necessários para elevar o nível da água em um recipiente até uma altura desejada.
📊 Nível da Questão
Fácil.
Por quê? A questão se resume a um cálculo de volume e uma divisão simples. O aluno precisa calcular o volume de água que precisa ser “adicionado” (deslocado) e dividir esse volume pelo volume de cada bolinha para encontrar a quantidade necessária.
✅ Gabarito
Alternativa A.
Resumo: Primeiro, calcula-se o volume de água que precisa ser acrescentado para que a altura suba de 8 cm para 15 cm. Esse volume é a área da base do recipiente (4 cm x 3 cm) multiplicada pela variação de altura (7 cm). O volume necessário é de 84 cm³. Dividindo esse volume pelo volume de cada bolinha (6 cm³), encontra-se o número mínimo de bolinhas, que é 14.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“O número mínimo de bolinhas necessárias para que se possa retirar o objeto que flutua na água, seguindo as instruções dadas, é de”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para calcular quantas bolinhas de 6 cm³ precisamos jogar dentro do recipiente para que o nível da água suba da altura atual (8 cm) para a altura mínima necessária (15 cm).
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é:
- Calcular o quanto a altura da água precisa subir.
- Calcular o volume correspondente a essa subida de altura.
- Dividir esse volume pelo volume de uma única bolinha para encontrar o número de bolinhas.
🧠 Quando você joga uma bolinha na água, o nível sobe porque a bolinha ocupa um espaço, certo? O volume que o nível da água sobe é exatamente igual ao volume da bolinha que você jogou. A questão se baseia nesse princípio simples.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Paralelepípedo Reto-Retângulo: É uma caixa com faces retangulares e ângulos de 90°.
- Volume de um Paralelepípedo (ou de uma camada dele): É o produto da área da base pela altura.
V = (Área da Base) × Altura
A área da base, neste caso, é comprimento × largura. - Volume Deslocado: Quando um objeto é totalmente submerso em um líquido, ele desloca um volume de líquido igual ao seu próprio volume. Para fazer o nível da água subir, precisamos adicionar um volume total (das bolinhas) igual ao volume da “camada de água” que queremos acrescentar.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine uma caixa d’água retangular. A água está a uma altura de 8 cm, mas para uma tarefa específica, você precisa que ela chegue a 15 cm. Você não tem mais água para colocar, mas tem um monte de bolinhas de gude, cada uma com 6 cm³ de volume.
A pergunta é: quantas bolinhas você precisa jogar na caixa para que o nível da água suba o suficiente?
O plano é:
- Descobrir quantos centímetros a água precisa subir.
- Calcular o volume dessa “fatia” de água que está faltando.
- Dividir o volume dessa fatia pelo volume de uma bolinha para saber quantas cabem ali.
Estratégia Geral 🗺️
Nossa estratégia será um cálculo sequencial:
- Calcular a variação de altura necessária (Δh).
- Calcular o volume a ser deslocado (V_deslocado = Área da Base × Δh).
- Calcular o número de bolinhas (N = V_deslocado / V_bolinha).
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
Etapa 1: Calcular a variação de altura necessária (Δh)
- Altura desejada = 15 cm
- Altura atual = 8 cm
- Variação de altura (Δh) = Altura desejada – Altura atual
- Δh = 15 – 8 = 7 cm
Etapa 2: Calcular o volume de água que precisa ser deslocado (V_deslocado)
- Esse volume corresponde a uma camada de água com 7 cm de altura e a mesma base do recipiente.
- Dimensões da base do recipiente: 4 cm e 3 cm.
- Área da Base (A_base) = 4 cm × 3 cm = 12 cm².
- V_deslocado = A_base × Δh
- V_deslocado = 12 cm² × 7 cm
- V_deslocado = 84 cm³
Etapa 3: Calcular o número mínimo de bolinhas necessárias (N)
- O volume total deslocado pela água deve ser igual ao volume total das bolinhas submersas.
- Volume de uma bolinha (V_bolinha) = 6 cm³
- N = V_deslocado / V_bolinha
- N = 84 cm³ / 6 cm³
- N = 14
Conclusão: São necessárias, no mínimo, 14 bolinhas.
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha seria usar as alturas totais em vez da variação de altura. Por exemplo, calcular o volume para 15 cm e o volume para 8 cm separadamente e depois se confundir na subtração. O caminho mais direto é calcular a altura que falta (7 cm) e encontrar o volume correspondente a essa “fatia”. Outro erro seria confundir as dimensões da base ou errar na divisão final.
Fechamento e Expectativa
O cálculo nos levou a um resultado de 14 bolinhas. Agora, vamos procurar essa resposta nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🟢 A) 14. Correta. Corresponde exatamente ao número de bolinhas calculado.
🔴 B) 16.
🔴 C) 18.
🔴 D) 30.
🔴 E) 34.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O problema solicita o número mínimo de bolinhas para elevar o nível da água de 8 cm para 15 cm em um recipiente paralelepipédico. A variação de altura necessária é de 15 – 8 = 7 cm. O volume correspondente a essa elevação é o produto da área da base (4 cm × 3 cm = 12 cm²) pela variação de altura (7 cm), o que resulta em um volume de 84 cm³. Como cada bolinha tem um volume de 6 cm³, o número de bolinhas necessárias é o volume total a ser deslocado dividido pelo volume de uma bolinha: 84 cm³ / 6 cm³ = 14 bolinhas.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a A.
Resumo Final para Revisão 🔍
Problemas de deslocamento de volume são mais simples do que parecem. A fórmula chave é: Volume a ser preenchido = Área da Base × Altura que falta subir. Depois, basta dividir esse volume pelo volume do objeto que você está usando para preenchê-lo.
