O Estatuto do Idoso, no Brasil, prevê certos direitos às pessoas com idade avançada, concedendo a estas, entre outros benefícios, a restituição de imposto de renda antes dos demais contribuintes. A tabela informa os nomes e as idades de 12 idosos que aguardam suas restituições de imposto de renda. Considere que, entre os idosos, a restituição seja concedida em ordem decrescente de idade e que, em subgrupos de pessoas com a mesma idade, a ordem seja decidida por sorteio.
Nessas condições, a probabilidade de João ser a sétima pessoa do grupo a receber sua restituição é igual a
A) 1/12
B) 7/12
C) 1/8
D) 5/6
E) 1/4
Resolução Em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Probabilidade)
- Análise de Dados (Ordenação, Leitura de Tabela)
- Raciocínio Lógico
🎯 Tema/Objetivo Geral
Cálculo da probabilidade de um evento ocorrer em uma situação que envolve uma ordem de prioridade (idade) e um sorteio para desempate.
📊 Nível da Questão
Médio.
Por quê? A questão não é um simples cálculo de probabilidade (casos favoráveis / casos totais). É preciso primeiro entender a regra de ordenação, identificar as primeiras posições já definidas pela idade e, em seguida, calcular a probabilidade dentro de um subgrupo específico (o das pessoas com 75 anos), onde a ordem é aleatória.
✅ Gabarito
Alternativa E.
Resumo: As 6 primeiras posições são ocupadas, em ordem de idade, pelas pessoas com 89, 86, 86, 85, 84 e 82 anos. A 7ª posição será ocupada por uma das 4 pessoas que têm 75 anos, cuja ordem será definida por sorteio. A probabilidade de João, que está nesse grupo de 4, ser o primeiro a ser sorteado (e, portanto, ocupar a 7ª posição geral) é de 1 em 4 (1/4).
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Nessas condições, a probabilidade de João ser a sétima pessoa do grupo a receber sua restituição é igual a”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para calcular a chance de João ser exatamente a 7ª pessoa na fila de restituição.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é:
- Construir a “fila” de restituição, preenchendo as primeiras posições com base na regra da idade.
- Identificar em qual posição o grupo de João entra na fila.
- Calcular a probabilidade de João ser o primeiro a ser chamado dentro do seu grupo de idade, para que ele ocupe a 7ª posição geral.
🧠 A posição de João na fila depende da sorte, mas a sorte só entra em ação depois que todas as pessoas mais velhas que ele já receberam, certo? Quantas pessoas são mais velhas que o grupo do João?
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Ordem Decrescente de Idade: Significa que os mais velhos recebem primeiro, do maior para o menor.
- Sorteio (para desempate): Quando duas ou mais pessoas têm a mesma idade, a ordem entre elas é aleatória. Isso significa que cada pessoa nesse subgrupo tem a mesma chance de ocupar a primeira posição disponível para o grupo.
- Probabilidade (P): É a medida da chance de um evento ocorrer. É calculada pela razão entre o número de casos favoráveis (o que queremos que aconteça) e o número de casos possíveis (todas as possibilidades).
- Fórmula: P = (Casos Favoráveis) / (Casos Possíveis)
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine uma fila para receber um prêmio. A regra é: os mais velhos primeiro. Se tiver gente com a mesma idade, a gente tira no palitinho para ver quem vai primeiro entre eles.
Nossa missão é descobrir qual a chance de o João ser o 7º da fila.
Primeiro, vamos montar a fila. Os “vovôs” e “vovós” vão na frente, em ordem. Vamos ver quantos lugares eles ocupam. Depois que todos os mais velhos passarem, chega a vez do grupo do João. Eles todos têm 75 anos, então vão ter que sortear quem vai primeiro entre eles. A chance de o João ser o 7º da fila geral é a mesma chance de ele ser o primeiro a ser sorteado no grupo dele.
Estratégia Geral 🗺️
Nossa estratégia será uma análise sequencial:
- Ordenar as idades da tabela em ordem decrescente.
- Contar quantas pessoas estão garantidas nas primeiras posições, antes de chegar na idade de João.
- Identificar o tamanho do grupo de empate (pessoas com a mesma idade de João).
- Calcular a probabilidade de João ser o primeiro a ser sorteado dentro desse grupo.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
Etapa 1: Ordenar as idades e formar a fila de prioridade
Vamos listar as idades da tabela, da maior para a menor:
- Orlando: 89 anos
- Gustavo: 86 anos
- Luana: 86 anos
- Teresa: 85 anos
- Márcia: 84 anos
- Roberto: 82 anos
- Heloisa, Marisa, Pedro, João: 75 anos
- Antônio: 72 anos
- Fernanda: 70 anos
Etapa 2: Preencher as primeiras posições da fila
A ordem de restituição é decrescente de idade.
- 1ª posição: Orlando (89 anos).
- 2ª e 3ª posições: Gustavo e Luana (86 anos). A ordem entre eles é por sorteio, mas eles ocuparão, com certeza, as posições 2 e 3.
- 4ª posição: Teresa (85 anos).
- 5ª posição: Márcia (84 anos).
- 6ª posição: Roberto (82 anos).
Verificação Intermediária: As primeiras 6 posições da fila já estão “ocupadas” por pessoas mais velhas que João.
Etapa 3: Analisar a 7ª posição
- Após as 6 primeiras pessoas receberem, a próxima faixa de idade a ser chamada é a de 75 anos.
- A 7ª posição será, portanto, ocupada por uma das pessoas do grupo de 75 anos.
- Quem está nesse grupo? Heloisa, Marisa, Pedro e João. São 4 pessoas.
Etapa 4: Calcular a probabilidade
- O enunciado diz que “em subgrupos de pessoas com a mesma idade, a ordem seja decidida por sorteio”.
- Para que João seja a 7ª pessoa, ele precisa ser o primeiro a ser sorteado dentro do seu grupo de 4 pessoas.
- O evento que queremos (Casos Favoráveis) é “João ser sorteado”. Há 1 caso favorável.
- O total de possibilidades (Casos Possíveis) é o número de pessoas no sorteio. Há 4 casos possíveis (pode sair Heloisa, Marisa, Pedro ou João).
- Calculando a probabilidade:
- P = (Casos Favoráveis) / (Casos Possíveis)
- P = 1 / 4
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha é usar o número total de pessoas (12) no denominador do cálculo final. Um aluno desatento poderia pensar que a probabilidade é 1/12. No entanto, o problema não é um sorteio simples entre todos os 12. É um processo condicional. A chance de João depende apenas do sorteio dentro do seu grupo de idade, pois as posições anteriores e posteriores já estão pré-determinadas pela idade.
Fechamento e Expectativa
O cálculo nos levou a uma probabilidade de 1/4. Agora, vamos procurar essa resposta nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 1/12
Incorreta. Este seria o resultado de um sorteio simples entre todas as 12 pessoas, o que não é o caso.
🔴 B) 7/12
Incorreta. Não corresponde a um cálculo de probabilidade relevante para o problema.
🔴 C) 1/8
Incorreta. Resultaria de um erro na contagem do número de pessoas no grupo de 75 anos.
🔴 D) 5/6
Incorreta. Esta é a probabilidade de João não ser a 7ª nem a 8ª pessoa, por exemplo.
🟢 E) 1/4
Correta. Corresponde à probabilidade de João ser o primeiro a ser sorteado em um grupo de 4 pessoas com a mesma idade.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
A resolução do problema envolveu a determinação da ordem de restituição com base nas regras estabelecidas. As primeiras seis posições são preenchidas por idosos com mais de 75 anos. Consequentemente, a 7ª posição será ocupada pelo primeiro sorteado do grupo de idosos com 75 anos. Este grupo é composto por quatro pessoas (Heloisa, Marisa, Pedro e João). Como a ordem dentro do grupo é decidida por sorteio e todos têm chances iguais, a probabilidade de João ser o primeiro sorteado (e, portanto, o 7º a receber a restituição) é de 1 caso favorável em um total de 4 casos possíveis, ou seja, 1/4.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a E.
Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de probabilidade com múltiplas regras, divida o problema em etapas. Primeiro, aplique as regras de certeza (a ordem por idade) para definir o cenário. Depois, calcule a probabilidade apenas dentro do grupo onde a aleatoriedade (o sorteio) realmente acontece.
