Questão 140, caderno azul ENEM 2020

O proprietário de um apartamento decidiu instalar porcelanato no piso da sala. Essa sala tem formato retangular com 3,2 m de largura e 3,6 m de comprimento. As peças do porcelanato têm formato de um quadrado com lado medindo 80 cm. Esse porcelanato é vendido em dois tipos de caixas, com os preços indicados a seguir.

• Caixas do tipo A: 4 unidades de piso, R$ 35,00;

• Caixas do tipo B: 3 unidades de piso, R$ 27,00.

Na instalação do porcelanato, as peças podem ser recortadas e devem ser assentadas sem espaçamento entre elas, aproveitando-se ao máximo os recortes feitos.

A compra que atende às necessidades do proprietário, proporciona a menor sobra de pisos e resulta no menor preço é

A) 5 caixas do tipo A.
B) 1 caixa do tipo A e 4 caixas do tipo B.
C) 3 caixas do tipo A e 2 caixa do tipo B.
D) 5 caixas do tipo A e 1 caixa do tipo B.
E) 6 caixas do tipo B.

Resolução Em Texto

📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Geometria Plana (Área de Retângulo e Quadrado)
Aritmética (Divisão, Multiplicação, Raciocínio Lógico)
Matemática Financeira (Análise de Custo-Benefício)
Conversão de Unidades

🎯 Tema/Objetivo Geral

Otimização de uma compra de material de construção, calculando a quantidade mínima necessária de pisos para cobrir uma área e encontrando a combinação de caixas que resulta no menor custo.

📊 Nível da Questão

Médio.
Por quê? A questão envolve múltiplos passos de cálculo e análise. É preciso calcular áreas, converter unidades, determinar o número de peças necessárias e, por fim, analisar diferentes combinações de compra para encontrar a mais barata. A complexidade está na organização de todas essas etapas sem cometer erros.

✅ Gabarito

Alternativa C.
Resumo: Calculando a área da sala (11,52 m²) e a área de uma peça de porcelanato (0,64 m²), descobre-se que são necessárias 18 peças. A partir daí, testa-se as combinações das alternativas para ver qual delas fornece pelo menos 18 peças pelo menor custo. A combinação de 3 caixas do tipo A e 2 do tipo B fornece exatamente 18 peças pelo menor preço (R$ 159,00).

Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

Transcrição Essencial 📌

“A compra que atende às necessidades do proprietário, proporciona a menor sobra de pisos e resulta no menor preço é”

O que está sendo pedido?

A questão nos pede para encontrar a melhor opção de compra, que deve satisfazer três critérios simultaneamente:

Atender às necessidades: ter peças suficientes para cobrir toda a sala.
Menor sobra: o número total de peças compradas deve ser o mais próximo possível do número necessário.
Menor preço: o custo total da compra deve ser o mínimo possível.

Objetivo Cristalino 💎

Nosso objetivo é:

Calcular a área total da sala.
Calcular a área de uma peça de porcelanato.
Determinar o número mínimo de peças necessárias.
Analisar as opções de compra das alternativas para encontrar a mais vantajosa.

🧠 As medidas da sala estão em metros e as do piso em centímetros. Qual é o primeiro passo crucial que você deve tomar antes de começar a calcular qualquer área?

Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários

Definição de Termos 🔖

Área de Retângulo: A = comprimento × largura
Área de Quadrado: A = lado × lado = lado²
Conversão de Unidades:
- 1 metro (m) = 100 centímetros (cm)
- Para converter cm para m, dividimos por 100.
- 1 m² = (100 cm)² = 10.000 cm²
Otimização: Processo de encontrar a melhor solução para um problema, considerando um ou mais critérios (neste caso, quantidade e preço).

Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

Contextualização Simplificada 💬

Você vai reformar sua sala e precisa comprar porcelanato. A sala é um retângulo de 3,2m por 3,6m. As peças são quadrados de 80cm de lado. A loja vende dois tipos de caixa: a “Caixa A” (4 peças por R

35)ea"CaixaB"(3pecçasporR35)ea"CaixaB"(3pecçasporR

27). A questão é: qual é a “compra inteligente”? Você precisa comprar o número exato de peças (ou o mais próximo possível, para não sobrar muito) e, ao mesmo tempo, gastar o mínimo de dinheiro. Sua missão é descobrir quantas peças você precisa e, depois, testar as combinações de caixas que as alternativas oferecem para encontrar a mais barata.

Estratégia Geral 🗺️

Padronizar Unidades: Converter todas as medidas para metros.
Calcular Áreas: Calcular a área da sala e a área de uma peça de porcelanato.
Calcular Quantidade: Dividir a área da sala pela área da peça para encontrar o número de peças necessárias.
Analisar as Alternativas: Calcular o total de peças e o custo total para cada opção de compra e escolher a melhor.

Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio

Passo a Passo Detalhado 👣

Etapa 1: Padronizar unidades e calcular áreas

Dimensões da sala: 3,2 m e 3,6 m.
- Área da Sala = 3,2 m × 3,6 m = 11,52 m²
Dimensões do piso: lado = 80 cm. Vamos converter para metros.
- Lado = 80 cm = 0,8 m.
- Área da Peça = (0,8 m)² = 0,64 m²

Etapa 2: Calcular o número de peças necessárias

Número de Peças = Área da Sala / Área da Peça
Número de Peças = 11,52 / 0,64
Para facilitar, podemos multiplicar ambos por 100: 1152 / 64
Número de Peças = 18

Verificação Intermediária: Precisamos comprar exatamente 18 peças de porcelanato.

Etapa 3: Analisar as alternativas (compra e custo)

Dados das caixas:
- Caixa A: 4 peças, R35,00(Precçoporpecça:35/4=R35,00(Precçoporpecça:35/4=R 8,75)
- Caixa B: 3 peças, R27,00(Precçoporpecça:27/3=R27,00(Precçoporpecça:27/3=R 9,00)
- Observação: A caixa A tem o melhor custo-benefício por peça.
Análise das opções:
- A) 5 caixas do tipo A:
  - Total de peças: 5 × 4 = 20 peças (Sobra: 2 peças)
  - Custo total: 5 × 35 = R$ 175,00
- B) 1 caixa do tipo A e 4 caixas do tipo B:
  - Total de peças: (1 × 4) + (4 × 3) = 4 + 12 = 16 peças. Não atende, faltam peças. Eliminada.
- C) 3 caixas do tipo A e 2 caixas do tipo B:
  - Total de peças: (3 × 4) + (2 × 3) = 12 + 6 = 18 peças (Sobra: 0 peças)
  - Custo total: (3 × 35) + (2 × 27) = 105 + 54 = R$ 159,00
- D) 5 caixas do tipo A e 1 caixa do tipo B:
  - O enunciado da alternativa D parece estranho, pois a alternativa A já compra 5 caixas A. Vamos assumir que seja um erro e a intenção fosse “4 caixas do tipo A e 1 caixa do tipo B”.
  - Total de peças: (4 × 4) + (1 × 3) = 16 + 3 = 19 peças (Sobra: 1 peça)
  - Custo total: (4 × 35) + (1 × 27) = 140 + 27 = R$ 167,00
- E) 6 caixas do tipo B:
  - Total de peças: 6 × 3 = 18 peças (Sobra: 0 peças)
  - Custo total: 6 × 27 = R$ 162,00

Etapa 4: Comparar as opções viáveis

Opção A: 20 peças, R$ 175,00
Opção C: 18 peças, R$ 159,00
Opção D (corrigida): 19 peças, R$ 167,00
Opção E: 18 peças, R$ 162,00

A opção C fornece exatamente as 18 peças necessárias (menor sobra = 0) e tem o menor custo (R$ 159,00).

A Armadilha Comum 🚨

A armadilha mais comum seria a de não converter as unidades corretamente no início, misturando metros com centímetros. Outra armadilha seria a de calcular o preço por peça e decidir comprar apenas caixas do tipo A, pois são mais baratas por unidade. Essa estratégia (comprar 5 caixas A) levaria a um custo de R$ 175,00, que é mais caro que as opções C e E.

Fechamento e Expectativa

A análise comparativa nos mostra que a combinação de 3 caixas do tipo A e 2 do tipo B é a que melhor atende a todos os critérios.

Passo 5: Análise das Alternativas

🔴 A) 5 caixas do tipo A.
Incorreta. Fornece 20 peças (2 de sobra) a um custo de R$ 175,00, que não é o menor preço nem a menor sobra.

🔴 B) 1 caixa do tipo A e 4 caixas do tipo B.
Incorreta. Fornece apenas 16 peças, o que é insuficiente.

🟢 C) 3 caixas do tipo A e 2 caixas do tipo B.
Correta. Fornece exatamente 18 peças (sem sobra) pelo menor custo entre as opções viáveis (R$ 159,00).

🔴 D) 5 caixas do tipo A e 1 caixa do tipo B.
Incorreta. Forneceria 23 peças, um excesso grande. Se a intenção era “4 caixas A e 1 B”, o custo seria de R$ 167,00, que é mais caro que a opção C.

🔴 E) 6 caixas do tipo B.
Incorreta. Fornece as 18 peças necessárias, mas a um custo de R$ 162,00, que é mais caro que a opção C.

Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

Resumo do Raciocínio 📝

O problema foi resolvido em quatro etapas. Primeiro, calculou-se a área da sala (11,52 m²) e a área de uma peça de porcelanato (0,64 m²), após a devida conversão de unidades. A divisão das áreas indicou a necessidade de 18 peças. Em seguida, foram analisadas as diferentes combinações de compra propostas nas alternativas. A opção de comprar 3 caixas do tipo A e 2 caixas do tipo B resultou na aquisição de exatamente 18 peças (menor sobra possível) a um custo total de R$ 159,00, que se provou ser o menor preço entre todas as opções viáveis que atendiam à necessidade.

Gabarito Reafirmado 🏅

A alternativa correta é a C.

Resumo Final para Revisão 🔍

Em problemas de otimização de compra, o caminho é: 1) Calcule a quantidade exata que você precisa. 2) Teste as opções de compra das alternativas, verificando sempre se a quantidade é suficiente. 3) Compare o custo e a sobra de cada opção viável para encontrar a melhor.