Um processo de aeração, que consiste na introdução de ar num líquido, acontece do seguinte modo: uma bomba B retira o líquido de um tanque T1 e o faz passar pelo aerador A1, que aumenta o volume do líquido em 15%, e em seguida pelo aerador A2, ganhando novo aumento de volume de 10%. Ao final, ele fica armazenado num tanque T2, de acordo com a figura.
Os tanques T1 e T2 são prismas retos de bases retangulares, sendo que a base de T1 tem comprimento c e largura L, e a base de T2 tem comprimento c/2 e largura 2L.
Para finalizar o processo de aeração sem derramamento do líquido em T2, o responsável deve saber a relação entre a altura da coluna de líquido que já saiu de T1, denotada por x, e a altura da coluna de líquido que chegou a T2, denotada por y.
Disponível em: www.dec.ufcg.edu.br. Acesso em: 21 abr. 2015.
A equação que relaciona as medidas das alturas y e x é dada por
a) y = 1,265x
b) y = 1,250x
c) y = 1,150x
d) y = 1,125x
e) y = x
Resolução Em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Volume de Prisma Reto-Retângulo)
- Matemática (Porcentagem, Fator de Aumento)
- Álgebra (Manipulação de Equações)
🎯 Tema/Objetivo Geral
Modelagem matemática de um problema envolvendo a transferência de volume entre dois tanques com bases diferentes, considerando aumentos percentuais sucessivos no volume do líquido.
📊 Nível da Questão
Médio.
Por quê? A questão exige a aplicação de vários conceitos em sequência: cálculo de volume, aplicação de aumentos percentuais sucessivos e manipulação algébrica para encontrar a relação entre as alturas. Embora cada passo seja relativamente simples, a combinação de todos eles requer organização e atenção aos detalhes.
✅ Gabarito
Alternativa A.
Resumo: O problema é resolvido igualando o volume final do líquido (em T2) ao volume inicial (retirado de T1) após aplicar os dois aumentos percentuais sucessivos. Isso leva a uma equação que relaciona os volumes. Substituindo as fórmulas dos volumes (Área da base x Altura) e as dimensões dadas, chega-se à relação final entre as alturas y e x.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“A equação que relaciona as medidas das alturas y e x é dada por”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para encontrar uma fórmula que conecte a altura y (nível do líquido no tanque T2) com a altura x (o quanto o nível baixou no tanque T1).
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é:
- Escrever uma expressão para o volume de líquido que saiu de T1.
- Calcular o que acontece com esse volume após passar pelos dois aeradores.
- Escrever uma expressão para o volume de líquido que chegou a T2.
- Igualar as expressões dos volumes (final e inicial modificado) e simplificar para encontrar a relação entre y e x.
🧠 Se um valor aumenta 15% e depois aumenta 10%, o aumento total é de 25%? Cuidado! Aumentos percentuais sucessivos não são somados diretamente.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Volume de Prisma Reto de Base Retangular: É o produto da área da base pelo sua altura.
- V = (Área da Base) ⋅ Altura = (comprimento ⋅ largura) ⋅ altura
- Fator de Aumento Percentual: Para aplicar um aumento percentual a um valor, multiplicamos o valor pelo fator de aumento correspondente.
- Aumento de 15% → Multiplicar por (1 + 15/100) = 1,15
- Aumento de 10% → Multiplicar por (1 + 10/100) = 1,10
- Aumentos Percentuais Sucessivos: Para aplicar aumentos sucessivos, multiplicamos os fatores de aumento.
- Um aumento de 15% seguido de um de 10% é equivalente a multiplicar por 1,15 ⋅ 1,10.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine que você está transferindo refrigerante de uma garrafa alta e fina (T1) para uma garrafa baixa e larga (T2). Mas no caminho, o refrigerante passa por duas máquinas de gaseificação (os aeradores). A primeira (A1) aumenta o volume do líquido em 15%, enchendo-o de gás. A segunda (A2) aumenta o volume já aumentado em mais 10%.
A altura x é o quanto o nível do refrigerante baixou na garrafa T1. A altura y é o nível que o refrigerante atingiu na garrafa T2. Nossa missão é encontrar uma fórmula que diga: “Se o nível em T1 baixou x cm, o nível em T2 subiu y cm”. Para isso, vamos seguir o caminho do líquido.
Estratégia Geral 🗺️
Nossa estratégia será baseada na conservação da massa, que se traduz em uma relação de volume. O volume que chega em T2 (V₂) é o volume que saiu de T1 (V₁) afetado pelos aumentos percentuais. Vamos montar a equação V₂ = V₁ ⋅ (fator de aumento) e substituir as fórmulas de volume para encontrar a relação entre y e x.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
Etapa 1: Escrever as expressões para os volumes
- Volume que sai de T1 (V₁):
- Base de T1: comprimento = c, largura = L. Área da Base₁ = c ⋅ L.
- Altura da coluna de líquido que saiu = x.
- V₁ = (c ⋅ L) ⋅ x
- Volume que chega em T2 (V₂):
- Base de T2: comprimento = c/2, largura = 2L. Área da Base₂ = (c/2) ⋅ (2L) = c ⋅ L.
- Altura da coluna de líquido que chegou = y.
- V₂ = (c ⋅ L) ⋅ y
- Observação interessante: As áreas das bases dos dois tanques são iguais!
Etapa 2: Calcular o fator de aumento total do volume
- O líquido passa por A1, que aumenta o volume em 15% (fator = 1,15).
- Depois, passa por A2, que aumenta o novo volume em 10% (fator = 1,10).
- Fator de aumento total = 1,15 ⋅ 1,10
- 1,15 × 1,10 = 1,15 × (1 + 0,1) = 1,15 + 0,115 = 1,265
Etapa 3: Montar a equação que relaciona os volumes
- O volume que chega em T2 é o volume que saiu de T1, multiplicado pelo fator de aumento total.
- V₂ = V₁ ⋅ 1,265
Etapa 4: Substituir as expressões dos volumes e resolver para y
- (c ⋅ L) ⋅ y = [ (c ⋅ L) ⋅ x ] ⋅ 1,265
- Como o termo (c ⋅ L) aparece nos dois lados e é diferente de zero, podemos cancelá-lo.
- y = x ⋅ 1,265
- y = 1,265x
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha é somar as porcentagens. Um aluno desatento poderia pensar que um aumento de 15% + 10% é um aumento total de 25%, o que o levaria a um fator de 1,250 e à alternativa B. É crucial lembrar que aumentos percentuais sucessivos são aplicados multiplicando-se os fatores.
Fechamento e Expectativa
O cálculo nos levou à equação y = 1,265x. Agora, vamos procurar essa resposta nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🟢 A) y = 1,265x
Correta. Corresponde exatamente à equação encontrada.
🔴 B) y = 1,250x
Incorreta. Este seria o resultado se os percentuais de aumento fossem somados (15% + 10% = 25%).
🔴 C) y = 1,150x
Incorreta. Este seria o resultado se apenas o primeiro aumento de 15% fosse considerado.
🔴 D) y = 1,125x
Incorreta.
🔴 E) y = x
Incorreta. Este seria o resultado se não houvesse aumento de volume e as bases dos tanques fossem iguais (o que, por coincidência, são).
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O problema foi resolvido ao se estabelecer uma relação entre o volume de líquido que saiu do tanque T1 (V₁) e o volume que chegou ao tanque T2 (V₂). O volume V₂ é o resultado de aplicar dois aumentos percentuais sucessivos de 15% e 10% a V₁. O fator de aumento total é o produto dos fatores individuais: 1,15 × 1,10 = 1,265. Portanto, V₂ = 1,265 ⋅ V₁. Substituindo as fórmulas de volume para cada tanque (V = Área da base × altura), temos (Área₂ ⋅ y) = 1,265 ⋅ (Área₁ ⋅ x). Como as áreas das bases dos dois tanques são iguais (c⋅L), elas podem ser canceladas na equação, resultando na relação direta entre as alturas: y = 1,265x.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a A.
Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se da regra de ouro dos percentuais sucessivos: não some, multiplique os fatores! Um aumento de p₁% seguido de um de p₂% é equivalente a multiplicar por (1 + p₁/100) ⋅ (1 + p₂/100).
