A questão 171 do Enem 2021 (caderno azul, Dia 2) é de Matemática e cobra a comparação de áreas de figuras planas. O gabarito é a alternativa E (círculo “). Abaixo você confere o enunciado, a resolução passo a passo e por que cada alternativa errada engana tantos candidatos.
Enunciado da questão 171 do Enem 2021
O dono de uma loja pretende usar cartões imantados para a sua divulgação de sua loja. A empresa que fornecerá o serviço lhe informa que o custo de fabricação do cartão é de R$0,01 por centímetro quadrado e que disponibiliza modelos tendo como faces úteis para impressão:
• um triângulo equilátero de lado 12 cm;
• um quadrado de lado 8 cm;
• um retângulo de lados 11 cm e 8 cm;
• um hexágono regular de lado 6cm;
• um círculo de diâmetro 10 cm.
O dono da loja está disposto a pagar, no máximo, R$0,80 por cartão. Ele escolherá, dentro desse limite de preço, o modelo que tiver maior área de impressão.
Use 3 como aproximação para π e use 1,7 como aproximação para √3.
Nessas condições, o modelo que deverá ser escolhido tem como face útil para impressão um
A) triângulo
B) quadrado
C) retângulo
D) hexágono
E) círculo
Resolução comentada da questão 171
Matérias necessárias para resolver a questão
Matemática (Geometria Plana: Cálculo de Áreas de Figuras Planas).
Matemática Financeira (Relação Custo x Área).
Tema e objetivo geral
Calcular a área de cinco figuras geométricas diferentes (Triângulo, Quadrado, Retângulo, Hexágono e Círculo) e selecionar a que possui a maior área possível, desde que essa área não ultrapasse um valor limite imposto pelo orçamento financeiro.
Nível da questão
Médio.
Exige a memorização de cinco fórmulas de área diferentes e paciência para realizar as contas de multiplicação com decimais sem errar.
Gabarito da questão 171: alternativa E
Letra E.
A alternativa está correta pois a área do círculo é de 75 cm². Esse valor respeita o limite máximo de 80 cm² (imposto pelo preço) e é maior do que as áreas do triângulo (61,2 cm²) e do quadrado (64 cm²).
Passo 1: o que a questão pede (o mapa da mina)
Decodificação do Objetivo:
O dono da loja quer o maior cartão possível, mas tem um teto de gastos.
- Regra 1 (O Limite): Ele só paga até R$ 0,80.
- Regra 2 (O Custo): Cada 1 cm² custa R$ 0,01.
- Missão: Descobrir qual a área máxima permitida e, em seguida, calcular a área de cada opção para ver quem ganha (maior área) sem estourar o orçamento.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você vai comprar um terreno.
O metro quadrado custa 1 centavo. Você tem 80 centavos no bolso.
Isso significa que você pode comprar, no máximo, 80 metros quadrados.
Agora, o corretor te mostra 5 terrenos com formatos diferentes.
Dois deles são gigantes (maiores que 80), você não tem dinheiro para comprar.
Três deles cabem no bolso. Desses três, você quer o maior.
O verdadeiro desafio aqui é lembrar as fórmulas de área, especialmente a do Hexágono e a do Triângulo Equilátero.
Plano de Ataque:
- Definir a Área Limite: Custo Máximo dividido pelo Custo Unitário.
- Calcular as Áreas: Fazer a conta para as 5 figuras.
- Filtrar: Eliminar as que passam do limite.
- Escolher: Pegar a maior entre as que sobraram.
Passo 2: áreas de figuras planas
Vamos abrir a maleta da Geometria Plana.
Ferramenta 0: O Limite
Area Maxima = 0,80 / 0,01 = 80 cm².
(Qualquer figura maior que 80 cm² está eliminada).
Ferramenta 1: Triângulo Equilátero
Fórmula: A = (L² . raiz(3)) / 4
- Dado: raiz(3) = 1,7.
Ferramenta 2: Quadrado
Fórmula: A = L . L (ou L²)
Ferramenta 3: Retângulo
Fórmula: A = Base . Altura
Ferramenta 4: Hexágono Regular
O Hexágono é feito de 6 Triângulos Equiláteros.
Fórmula: A = 6 . (L² . raiz(3)) / 4
Ferramenta 5: Círculo
Fórmula: A = Pi . r²
- Dado: Pi = 3.
- Atenção: O texto dá o Diâmetro (10), mas a fórmula usa o Raio (5).
Passo 3: resolução passo a passo (mão na massa)
Vamos calcular um por um e comparar com o limite de 80 cm²:
1. Triângulo Equilátero (Lado 12)
A = (12² . 1,7) / 4
A = (144 . 1,7) / 4
Dica: Divida 144 por 4 primeiro.
A = 36 . 1,7
A = 61,2 cm²
Veredito: Cabe no orçamento. (Candidato 1).
2. Quadrado (Lado 8)
A = 8 . 8
A = 64 cm²
Veredito: Cabe no orçamento e é maior que o triângulo. (Novo líder).
3. Retângulo (Lados 11 e 8)
A = 11 . 8
A = 88 cm²
Veredito: Passou de 80. Muito caro. Eliminado.
4. Hexágono Regular (Lado 6)
A = 6 . [(6² . 1,7) / 4]
A = 6 . [(36 . 1,7) / 4]
A = 6 . [9 . 1,7]
A = 54 . 1,7
A = 91,8 cm²
Veredito: Passou de 80. Caríssimo. Eliminado.
5. Círculo (Diâmetro 10 -> Raio 5)
A = 3 . 5²
A = 3 . 25
A = 75 cm²
Veredito: Cabe no orçamento (75 < 80). E é maior que o quadrado (64).
O Pódio Final (dos que cabem no bolso):
- Círculo (75) – CAMPEÃO 🏆
- Quadrado (64)
- Triângulo (61,2)
ARMADILHA CLÁSSICA!
CUIDADO com o Diâmetro do Círculo!
Muitos alunos leem “10 cm” e jogam direto na fórmula: 3 x 10² = 300.
Isso daria uma área gigante, eliminando o círculo por ser caro demais.
Sempre lembre: A geometria ama o Raio, não o Diâmetro. Se o Diâmetro é 10, o Raio é 5.
Outro erro comum: Esquecer de verificar o limite de preço e marcar o Hexágono (91,8) só porque ele é o maior de todos. A questão pede o maior dentro do limite.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O limite é 80. Retângulo e Hexágono estouram. Entre Triângulo, Quadrado e Círculo, o Círculo é o maior.
- Expectativa: Círculo.
Passo 4: alternativas comentadas (a autópsia)
A) triângulo
- Diagnóstico do Erro: Cálculo correto, escolha errada.
- Análise: A área é 61,2 cm². Cabe no orçamento, mas é a menor das opções válidas. O dono quer a maior área possível.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) quadrado
- Diagnóstico do Erro: Parou no meio.
- Análise: A área é 64 cm². É maior que o triângulo, mas perde para o círculo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) retângulo
- Diagnóstico do Erro: Ignorou o orçamento.
- Análise: A área é 88 cm². O custo seria R
0,88.OlimiteeˊR0,88.OlimiteeˊR0,80. O dono não pode pagar. - Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) hexágono
- Diagnóstico do Erro: Ignorou o orçamento / “Olho maior que a barriga”.
- Análise: A área é 91,8 cm². É a maior figura de todas, mas custaria quase R$ 0,92. Estoura o limite financeiro.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) círculo
- Análise de Correspondência: Perfeita.
- Análise:
- Custo: R$ 0,75 (pois a área é 75 cm²).
- Está abaixo do teto de R$ 0,80.
- É a maior área entre as opções pagáveis (75 > 64 > 61,2).
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
Passo 5: resumo e aprendizagem expandida
Frase de Fechamento:
Para otimizar a propaganda, o lojista precisou resolver um sistema de inequações geométricas: calcular as áreas de todas as figuras, filtrar as que custariam mais de R$ 0,80 (área > 80 cm²) e, dentre as restantes, eleger a maior, consagrando o Círculo como a forma mais eficiente.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
Retângulo e Hexágono são caros demais. O Círculo é o maior que o dinheiro pode comprar.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conecte isso com a Desigualdade Isoperimétrica.
Na natureza, o círculo é a forma que, para um determinado perímetro (quantidade de borda), oferece a maior área possível. É por isso que gotas de água e planetas são redondos: é a forma mais eficiente de guardar volume/área com a menor quantidade de “casca” possível. Aqui, ele venceu pela eficiência de preencher espaço!
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