A questão 157 do Enem 2021 (caderno azul, Dia 2) é de Matemática e cobra uma matriz de fluxos migratórios. O gabarito é a alternativa E (5 “). Abaixo você confere o enunciado, a resolução passo a passo e por que cada alternativa errada engana tantos candidatos.
Enunciado da questão 157 do Enem 2021
Uma construtora, pretendendo investir na construção de imóveis em uma metrópole com cinco grandes regiões, fez uma pesquisa sobre a quantidade de famílias que mudaram de uma região para outra, de modo a determinar qual região foi o destino do maior fluxo de famílias, sem levar em consideração o número de famílias que deixaram a região. Os valores da pesquisa estão dispostos em uma matriz A = [aij] , i, j ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, em que o elemento [aij] corresponde ao total de famílias (em dezena) que se mudaram da região i para a região j durante um certo período, e o elemento [aii] é considerado nulo, uma vez que somente são consideradas mudanças entre regiões distintas. A seguir, está apresentada a matriz com os dados da pesquisa.
Qual região foi selecionada para o investimento da construtora?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Resolução comentada da questão 157
Matérias necessárias para resolver a questão
Matemática (Matrizes: Interpretação de Linhas e Colunas).
Tema e objetivo geral
Interpretar uma matriz quadrada onde os elementos representam fluxos de movimento (migração), identificando corretamente o significado dos índices de linha (origem) e coluna (destino) para realizar a soma correta.
Nível da questão
Médio.
A conta é de somar (fácil), mas a interpretação é traiçoeira. O aluno precisa saber se deve somar na horizontal (linha) ou na vertical (coluna). Se somar errado, encontra outra resposta.
Gabarito da questão 157: alternativa E
Letra E.
A alternativa está correta pois, ao somarmos os elementos da Coluna 5 (que representam as famílias que chegaram à Região 5), obtemos o maior valor total (12 dezenas), superando todas as outras regiões.
Passo 1: o que a questão pede (o mapa da mina)
Decodificação do Objetivo:
A construtora quer investir onde tem mais gente chegando.
O texto diz: “determinar qual região foi o destino do maior fluxo”.
Temos uma matriz cheia de números.
O examinador quer saber: Eu somo os números deitados (linhas) ou os números em pé (colunas)?
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine a matriz como um bilhete de passagem aérea.
- O índice i (Linha) é a cidade de PARTIDA (De onde sai).
- O índice j (Coluna) é a cidade de CHEGADA (Para onde vai).
Se a construtora quer saber o “Destino”, ela quer saber quem CHEGOU.
Logo, temos que olhar para o j (Colunas).
O verdadeiro desafio aqui é não confundir “quem saiu” com “quem chegou”.
Plano de Ataque:
- Regra de Ouro:
aijaij= sai deii, vai parajj. - Foco: Queremos o Destino (
jj). Logo, vamos somar as Colunas. - Execução: Somar os 5 números verticais de cada coluna e ver qual dá o maior resultado.
Passo 2: matrizes
Vamos abrir a maleta das Matrizes.
Ferramenta: Leitura de Fluxo
Em matrizes de migração ou transporte:
- Soma da LINHA: Total de pessoas que SAÍRAM daquela região.
- Soma da COLUNA: Total de pessoas que ENTRARAM naquela região.
Como queremos o “destino do maior fluxo”, vamos ignorar as linhas e focar apenas nas colunas verticais.
Passo 3: resolução passo a passo (mão na massa)
Vamos somar coluna por coluna (de cima para baixo):
- Região 1 (Coluna 1):
0 + 0 + 2 + 1 + 1 = 4 - Região 2 (Coluna 2):
4 + 0 + 2 + 0 + 2 = 8 - Região 3 (Coluna 3):
2 + 6 + 0 + 2 + 0 = 10 - Região 4 (Coluna 4):
2 + 2 + 3 + 0 + 4 = 11 - Região 5 (Coluna 5):
5 + 3 + 0 + 4 + 0 = 12
O Veredito:
A Região 5 recebeu 12 (dezenas) de famílias. Foi a campeã de recepção.
ARMADILHA CLÁSSICA!
CUIDADO com as Linhas!
Se você somasse as Linhas (famílias que foram embora), o resultado seria:
- Linha 1: 4+2+2+5 = 13.
Se a pergunta fosse “qual região perdeu mais moradores”, a resposta seria a Região 1 (Alternativa A). Muitos alunos somam a linha por hábito de leitura (esquerda para direita). Lembre-se: Destino é Coluna!
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O maior fluxo de entrada está na coluna com a maior soma.
- Expectativa: Coluna 5 (valor 12).
Passo 4: alternativas comentadas (a autópsia)
A) 1.
- Diagnóstico do Erro: Somou a Linha ou olhou o menor fluxo.
- Análise: A Região 1 foi a que recebeu menos gente (4). Porém, foi a que mais “expulsou” gente (soma da linha = 13). Se o aluno confundiu destino com origem, marcou essa.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 2.
- Diagnóstico do Erro: Erro de cálculo.
- Análise: A soma da coluna 2 é 8. Não é o maior valor.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 3.
- Diagnóstico do Erro: Erro de cálculo.
- Análise: A soma da coluna 3 é 10. Está em terceiro lugar.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 4.
- Diagnóstico do Erro: Quase lá.
- Análise: A soma da coluna 4 é 11. Foi o vice-campeão. Perdeu por pouco para a região 5.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 5.
- Análise de Correspondência: Perfeita.
- Análise:
- Soma da Coluna 5: 5 + 3 + 0 + 4 + 0 = 12.
- É o maior valor de entrada de famílias.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
Passo 5: resumo e aprendizagem expandida
Frase de Fechamento:
Para descobrir o destino favorito das famílias, precisamos ler a matriz verticalmente; a soma da quinta coluna revela que a Região 5 foi a que acolheu o maior número de novos moradores (120 famílias), sendo o alvo ideal para o investimento.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
Linha vai (Tchau!). Coluna vem (Oi!).
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conecte isso com Google PageRank.
O algoritmo original do Google funciona com uma matriz gigante parecida com essa.
- Linha: Site que dá o link.
- Coluna: Site que recebe o link.
O site mais importante (que aparece primeiro na busca) é aquele que tem a “maior soma de coluna” (recebe mais links importantes), assim como a Região 5 recebeu mais famílias. Matrizes governam a internet!
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- Para revisar o conteúdo: curso de cálculo mental para o Enem
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