Uma mola é solta da posição distendida conforme a figura. A figura à direita representa o gráfico da posição P (em cm) da massa m em função do tempo t (em segundo) em um sistema de coordenadas cartesianas. Esse movimento periódico é descrito por uma expressão do tipo P(t) = +- A cos(wt) ou P(t) = +- A sen(wt), em que A>0 é a amplitude de deslocamento máximo e w é a frequência, que se relaciona com o período T pela fórmula w = 2π/T .
Considere a ausência de quaisquer forças dissipativas.
A expressão algébrica que representa as posições P(t) da massa m, ao longo do tempo, no gráfico, é
A) – 3 cos (2t)
B) – 3 sen (2t)
C) 3 cos (2t)
D) – 6 cos (2t)
E) 6 cos (2t)
Resolução em Texto
Matérias necessárias:
- Física (oscilação harmônica simples) e Matemática (trigonometria).
Gabarito: A.
Nível de dificuldade: Médio (padrão ENEM).
Habilidades necessárias: Interpretação de gráficos de funções trigonométricas, análise de oscilação periódica e substituição de valores em expressões.
1º Passo: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Comando da questão: Identificar a expressão algébrica que descreve a posição P(t) da massa m ao longo do tempo, conforme o gráfico apresentado.
Palavras-chave: “posição”, “função trigonométrica”, “gráfico”.
Objetivo: Verificar qual expressão fornecida para P(t)P(t)P(t) corresponde ao comportamento do gráfico.
Dica Geral: ⚠️ Ao trabalhar com funções periódicas, identifique os pontos característicos, como amplitudes máximas e mínimas, para verificar qual expressão se ajusta ao gráfico.
2º Passo: Tradução e Interpretação dos Dados
- Amplitude do movimento: O gráfico indica que a amplitude máxima é ∣P∣=3.
- Período do movimento: O tempo necessário para completar um ciclo completo é T=π, o que implica:
- Forma da função: A oscilação é representada por uma função cosseno invertida (−cos), pois inicia no ponto de amplitude máxima negativa (−3).
3º Passo: Explicação de Conceitos Necessários
- Função trigonométrica geral: Para oscilações harmônicas simples, usamos:
onde:- A é a amplitude.
- ω é a frequência angular (ω=2π/T).
- t é o tempo.
- Substituição de valores: O gráfico apresenta o ponto (π/2,3). Substituiremos t=π/2 e P=3 nas expressões para verificar qual é correta.
4º Passo: Análise das Alternativas
Conclusão: Alternativa correta: A.
- Dica Geral: ⚠️ Lembre-se de verificar os pontos máximos e mínimos no gráfico para identificar corretamente o tipo de função (cosseno ou seno) e seu sinal.
5º Passo: Conclusão e Justificativa Final
- Conclusão: A expressão algébrica que representa as posições P(t) da massa m, ao longo do tempo, no gráfico, é:
- Resumo Final: O movimento oscilatório harmônico da massa m é descrito por uma função cosseno invertida com amplitude A=3 e frequência angular ω=2. A substituição de valores específicos no tempo confirma a compatibilidade entre a alternativa A e o gráfico fornecido. Alternativa correta: A.
