Uma mola é solta da posição distendida conforme a figura. A figura à direita representa o gráfico da posição P (em cm) da massa m em função do tempo t (em segundo) em um sistema de coordenadas cartesianas. Esse movimento periódico é descrito por uma expressão do tipo P(t) = +- A cos(wt) ou P(t) = +- A sen(wt), em que A>0 é a amplitude de deslocamento máximo e w é a frequência, que se relaciona com o período T pela fórmula w = 2π/T .
Considere a ausência de quaisquer forças dissipativas.
A expressão algébrica que representa as posições P(t) da massa m, ao longo do tempo, no gráfico, é
A) – 3 cos (2t)
B) – 3 sen (2t)
C) 3 cos (2t)
D) – 6 cos (2t)
E) 6 cos (2t)
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Física (Ondulatória e MHS – Movimento Harmônico Simples).
Matemática (Trigonometria: Análise de Gráficos de Seno e Cosseno).
Tema/Objetivo Geral:
Analisar o gráfico de um movimento oscilatório para identificar três parâmetros fundamentais: a Amplitude (tamanho da onda), o Período (tempo da onda) e a Fase Inicial (onde a onda começa), montando assim a função horária correta.
Nível da Questão
Médio.
Exige a conexão entre dois mundos: o desenho da onda e a equação algébrica. O aluno precisa saber a diferença visual entre uma função seno e uma função cosseno.
Gabarito
Letra A.
A alternativa está correta pois o gráfico começa no ponto mais baixo (-3), o que caracteriza uma função menos cosseno (-cos). A amplitude é 3 e o período é Pi, resultando na frequência angular de 2.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão te dá o desenho de uma onda (o gráfico da mola subindo e descendo).
Ela quer que você escreva o “Nome e Sobrenome” dessa onda em linguagem matemática.
Para dar o nome completo, você precisa responder três perguntas:
- Qual o tamanho? (Amplitude).
- Qual a velocidade? (Frequência Angular).
- Onde ela começa? (Seno ou Cosseno / Positivo ou Negativo).
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que a função é uma Pessoa na Montanha-Russa.
- Se a foto foi tirada quando ela estava no nível do chão subindo, é Seno.
- Se a foto foi tirada quando ela estava lá no topo gritando, é Cosseno.
- Se a foto foi tirada quando ela estava lá embaixo no buraco, é Cosseno Negativo.
Olhe para o eixo vertical (P) no tempo zero (t=0). Onde a bolinha está? Ela está no buraco (-3).
O verdadeiro desafio aqui é identificar o ponto de partida do gráfico.
Plano de Ataque:
- Olhar o Eixo Y (Altura): Descobrir a Amplitude (A).
- Olhar o Eixo X (Tempo): Descobrir o Período (T) para calcular o ômega (w).
- Olhar o Início (t=0): Definir se é Seno ou Cosseno.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos abrir a maleta da Trigonometria.
Ferramenta 1: A Identidade das Funções (No tempo 0)
- Seno (sen): Começa no Zero e sobe.
- Cosseno (cos): Começa no Máximo (topo) e desce.
- Menos Cosseno (-cos): Começa no Mínimo (fundo) e sobe.
- Dica: O enunciado diz “mola solta da posição distendida” (esticada para baixo). Isso confirma que começa no fundo negativo.
Ferramenta 2: O Ômega (Frequência Angular)
A fórmula foi dada: w = 2.pi / T
- T (Período): É o tempo para completar uma volta inteira (sair do fundo, ir ao topo e voltar ao fundo).
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos extrair os dados do gráfico:
1. A Amplitude (A)
Olhe para o ponto mais alto e o mais baixo da onda.
Ela vai de -3 até +3.
Logo, a Amplitude A = 3.
(Isso elimina as alternativas D e E, que falam em 6).
2. O Período (T) e a Frequência (w)
A onda começa no tempo 0 (fundo do poço).
Ela sobe, atinge o topo e volta para o fundo do poço exatamente no tempo t = pi.
Logo, o Período T = pi.
Agora, calculamos o w:
w = 2.pi / T
w = 2.pi / pi
Corta pi com pi…
w = 2.
3. O Formato da Função
No tempo t = 0, o gráfico está no ponto -3.
- Seno de 0 é 0. (Não pode ser seno).
- Cosseno de 0 é 1. (Multiplicado por 3, daria +3. Não pode ser cosseno positivo).
- Cosseno de 0 é 1. Multiplicado por -3, dá -3. (BINGO!).
A função tem que ser do tipo negativa de cosseno.
Montando a Fórmula Final:
P(t) = (Sinal) (Amplitude) (Função) (w . t)
P(t) = (-) (3) (cos) (2t)
P(t) = -3 cos(2t)
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO com o “Seno”!
Muitos alunos veem uma onda e chamam automaticamente de “senoidal”. Na física, “onda senoidal” é um termo genérico, mas matematicamente, se ela não começa no zero, ela é descrita melhor pelo Cosseno (ou um seno com fase).
Olhe sempre para o eixo vertical no instante zero. Se não estiver no meio (0), risque todas as alternativas que dizem “sen”.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Começa embaixo (-3) -> Função Cosseno Negativa. O ciclo dura Pi -> Frequência é 2.
- Expectativa: -3 cos(2t).
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) -3 cos(2t).
- Análise de Correspondência: Perfeita.
- -3: Indica amplitude 3 e início no ponto mínimo (coerente com o gráfico em t=0).
- cos: Função que começa nos extremos.
- 2t: Indica que o ômega é 2, compatível com o período de pi (2.pi/2 = pi).
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
B) -3 sen(2t).
- Diagnóstico do Erro: Função Errada.
- Análise: Seno de 0 é 0. Se a função fosse essa, o gráfico teria que começar na origem (0,0). O gráfico começa no -3.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 3 cos(2t).
- Diagnóstico do Erro: Sinal Trocado.
- Análise: Se a função fosse positiva (+3 cos), o gráfico começaria no ponto máximo (+3) e desceria. O gráfico mostra o contrário: começa no mínimo (-3) e sobe.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) -6 cos(2t).
- Diagnóstico do Erro: Erro de Amplitude.
- Análise: O aluno pode ter confundido amplitude (distância do centro ao topo) com a oscilação total (“pico a pico”, de -3 a +3, que dá 6). A amplitude na fórmula é sempre a distância do zero ao extremo (que é 3).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 6 sen(2t).
- Diagnóstico do Erro: Tudo errado.
- Análise: Errou a amplitude (6 em vez de 3) e a função (seno começa no zero).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
O movimento da mola é retratado matematicamente pela função cosseno, pois inicia em um extremo; como parte da posição inferior (distendida), o sinal é negativo, e a frequência angular de 2 rad/s ajusta o ciclo ao período observado no gráfico, resultando em P(t) = -3 cos(2t).
Resumo-flash (A Imagem Mental):
Começou no buraco? É Cosseno Negativo.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conecte isso com Eletricidade (Corrente Alternada).
A tomada da sua casa funciona exatamente assim: a voltagem oscila de +110 V a −110 V (ou 220 V) 60 vezes por segundo (60 Hz). A equação da voltagem é V(t) = Vₘₐₓ · sen(2πft).
A matemática das molas é a mesma matemática da luz que ilumina seu quarto.
