Um parque temático brasileiro construiu uma réplica em miniatura do castelo de Liechtenstein. O castelo original, representado na imagem, está situado na Alemanha e foi reconstruído entre os anos de 1840 e 1842, após duas destruições causadas por guerras.
O castelo possui uma ponte de 38,4m de comprimento e 1,68m de largura. O artesão que trabalhou para o parque produziu a réplica do castelo, em escala. Nessa obra, as medidas do comprimento e da largura da ponte eram, respectivamente, 160 cm e 7 cm.
A escala utilizada para fazer a réplica é
A) 1 : 576
B) 1 : 240
C) 1 : 24
D) 1 : 4,2
E) 1 : 2,4
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Razão e Proporção: Escalas e Conversão de Unidades).
Tema/Objetivo Geral:
Calcular a escala de uma maquete (réplica) comparando as medidas reais de uma construção com as medidas reduzidas, garantindo a conversão correta das unidades de medida.
Nível da Questão
Fácil.
Exige apenas uma conta de divisão. O único “perigo” é esquecer de transformar metros em centímetros antes de dividir. Se as unidades não forem iguais, a escala sai errada.
Gabarito
Letra C.
A alternativa está correta pois, ao converter o comprimento real da ponte (38,4 m) para centímetros (3.840 cm) e dividir pelo comprimento da réplica (160 cm), encontramos a razão de 1 para 24.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão te dá o tamanho do castelo de verdade (na Alemanha) e o tamanho do castelo de brinquedo (no parque).
O examinador quer saber: Quantas vezes o castelo foi encolhido?
Isso é a definição de Escala.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine um Carrinho da Hot Wheels.
Na caixa diz “Escala 1:64”. Isso significa que o carro de verdade é 64 vezes maior que o brinquedo. Ou, que cada 1 cm do brinquedo vale 64 cm na vida real.
Aqui, temos uma ponte de verdade (38 metros) e uma ponte de brinquedo (160 centímetros). Precisamos descobrir qual é o “número mágico” da redução.
Plano de Ataque:
- Padronizar as Unidades: O real está em metros (m), a réplica está em centímetros (cm). Vamos passar tudo para cm (porque escala não tem unidade, é uma divisão de grandezas iguais).
- Escolher uma Medida: Podemos usar o Comprimento OU a Largura. Tanto faz, a escala é a mesma. Vamos usar o Comprimento.
- Calcular a Escala: Dividir o tamanho da Réplica pelo tamanho Real.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos abrir a maleta da Geometria.
Ferramenta 1: Conversão de Unidades
- 1 metro = 100 centímetros.
- Para passar de m para cm, multiplique por 100 (ande a vírgula duas casas para a direita).
Ferramenta 2: Fórmula da Escala (E)
Escala é a razão entre o Desenho (d) e o Real (D).
- E = d / D
- Importante: d e D têm que estar na mesma unidade!
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos aos cálculos:
Passo A: Conversão
- Medida Real da ponte (D): 38,4 metros.
- Passando para cm: 38,4 x 100 = 3.840 cm.
Passo B: A Divisão (d / D)
- Medida da Réplica (d): 160 cm.
- Medida Real (D): 3.840 cm.
Escala = 160 / 3.840
Vamos simplificar essa fração:
- Corta um zero de cada lado: 16 / 384.
- Agora vamos dividir o número de baixo pelo de cima para ver quantas vezes o 16 cabe no 384.
- 38 dividido por 16 dá 2 (sobra 6).
- Baixa o 4, fica 64.
- 64 dividido por 16 dá 4.
- Resultado da divisão: 24.
Logo, a fração simplificada é 1 / 24.
A escala é 1 : 24.
Prova Real (Usando a Largura):
Real: 1,68 m = 168 cm.
Réplica: 7 cm.
Escala = 7 / 168.
168 dividido por 7 dá 24.
Escala 1 : 24. Bateu!
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO com a alternativa E (1 : 2,4)!
Muitos alunos esquecem de converter metro para centímetro.
Eles dividem direto: 160 (cm) por 38,4 (m).
Isso dá aproximadamente 4,16 (perto da letra D).
Ou tentam dividir 38,4 por 16, achando 2,4.
Lembre-se: Você nunca pode dividir banana por laranja. Transforme tudo em banana (cm) antes de dividir!
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: 160 cm (réplica) equivalem a 3840 cm (real). Simplificando 160/3840, temos 1/24.
- Expectativa: 1 : 24.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 1 : 576
- Diagnóstico do Erro: Escala de Área?
- Análise: 576 é o quadrado de 24 (
24×2424×24). O aluno pode ter confundido escala linear com escala de área. - Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 1 : 240
- Diagnóstico do Erro: Erro de vírgula.
- Análise: O aluno pode ter convertido errado (adicionado um zero a mais ou a menos na conta). Se a ponte tivesse 384 metros, seria essa a resposta.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 1 : 24
- Análise de Correspondência: Perfeita.
- Análise:
- Real: 3840 cm.
- Réplica: 160 cm.
- Razão: 160 para 3840, que simplifica para 1 para 24.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
D) 1 : 4,2
- Diagnóstico do Erro: Mistura de unidades.
- Análise: Tentativa de dividir valores sem conversão adequada ou erro grosseiro de aritmética.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 1 : 2,4
- Diagnóstico do Erro: O erro da unidade.
- Análise: O aluno esqueceu de multiplicar por 100 (metros para cm). A diferença entre 2,4 e 24 é exatamente um fator de 10 (ou erro de conversão decimal).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Para construir uma maquete fiel, a matemática exige coerência nas unidades: ao convertermos os 38,4 metros da ponte real para 3.840 centímetros e compararmos com os 160 cm da réplica, descobrimos que o fator de redução utilizado pelo artesão foi exatamente de 1 para 24.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
Metro vira Centímetro, depois divide. (O segredo é o x100).
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conecte isso com Mapas (Google Maps).
Quando você vê um mapa na tela do celular, a escala muda quando você dá zoom.
Se a escala é 1:1.000.000, 1 cm na tela são 10 km na rua.
Se você dá zoom para 1:10.000, 1 cm na tela são 100 metros.
Escala pequena (número grande embaixo) = Visão de longe. Escala grande (número pequeno embaixo) = Visão de perto/detalhe.
