Em um estudo realizado pelo IBGE em quatro estados e no Distrito Federal, com mais de 5 mil pessoas com 10 anos ou mais, observou-se que a leitura ocupa, em média, apenas seis minutos do dia de cada pessoa.
Na faixa de idade de 10 a 24 anos, a média diária é de três minutos. No entanto, no grupo de idades entre 24 e 60 anos, o tempo médio diário dedicado à leitura é de 5 minutos. Entre os mais velhos, com 60 anos ou mais, a média é de 12 minutos.
A quantidade de pessoas entrevistadas de cada faixa de idade seguiu a distribuição percentual descrita no quadro.
Os valores de x e y do quadro são, respectivamente, iguais a
A) 10 e 80.
B) 10 e 90.
C) 20 e 60.
D) 20 e 80.
E) 25 e 50.
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Estatística: Média Aritmética Ponderada).
Álgebra (Sistemas de Equações do 1º Grau).
Tema/Objetivo Geral:
Descobrir os valores percentuais desconhecidos (x e y) de uma população, utilizando a média ponderada fornecida (tempo de leitura) e a soma total das porcentagens (100%).
Nível da Questão
Médio.
Exige a montagem de um sistema linear com duas incógnitas. O aluno precisa traduzir o texto em duas equações matemáticas distintas para conseguir resolver o problema.
Gabarito
Letra C.
A alternativa está correta pois os cálculos revelam que x = 20 e y = 60. Esses valores satisfazem tanto a soma total da população (20 + 60 + 20 = 100%) quanto a média de leitura (6 minutos).
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão nos dá a média geral de leitura do brasileiro (6 minutos) e as médias de três grupos de idade separados.
O problema é que não sabemos quantas pessoas (em %) existem em cada grupo. Sabemos apenas que são x%, y% e x%.
O examinador quer saber: Quais são os valores de x e y que fazem essa conta fechar?
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma Salada de Frutas.
O sabor final (Média Geral) é 6.
Temos três frutas:
- Fruta Jovem (Sabor 3): quantidade x.
- Fruta Adulta (Sabor 5): quantidade y.
- Fruta Idosa (Sabor 12): quantidade x.
Você precisa descobrir quanto de cada fruta foi colocado na tigela para que o sabor final seja exatamente 6, sabendo que a tigela está 100% cheia.
Plano de Ataque:
- Equação 1 (A Soma): A soma de todas as porcentagens tem que dar 100.
- Equação 2 (A Média): A fórmula da média ponderada tem que dar 6.
- Resolver o Sistema: Cruzar as duas equações para achar x e y.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos abrir a maleta da Álgebra.
Ferramenta 1: O Todo
A soma das partes é igual ao todo. Como estamos falando de porcentagem de uma população inteira:
x + y + x = 100
Ferramenta 2: A Média Ponderada
Média = (Valor1 . Peso1 + Valor2 . Peso2 + Valor3 . Peso3) / Soma dos Pesos.
- Os “Valores” são os tempos de leitura (3, 5 e 12).
- Os “Pesos” são as porcentagens (x, y e x).
- A “Soma dos Pesos” é 100.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos montar o nosso sistema de equações:
Equação A (População Total):
O quadro mostra três faixas: x, y e x.
x + y + x = 100
2x + y = 100 (Guarde essa equação!)
Equação B (Tempo de Leitura):
(Média Jovem . x) + (Média Adulta . y) + (Média Idosa . x) = Média Geral . 100
(3 . x) + (5 . y) + (12 . x) = 6 . 100
3x + 5y + 12x = 600
15x + 5y = 600
Dica de Detetive: Podemos simplificar a Equação B dividindo tudo por 5.
(15x / 5) + (5y / 5) = (600 / 5)
3x + y = 120 (Agora ficou fácil!)
Resolvendo o Sistema:
Temos duas verdades:
- 2x + y = 100
- 3x + y = 120
Perceba a diferença entre elas. A segunda equação tem “um x a mais” (3x em vez de 2x) e o resultado é 20 a mais (120 em vez de 100).
Logo, esse “x” extra vale 20.
Matematicamente: (3x + y) – (2x + y) = 120 – 100
x = 20
Achando o Y:
Se 2x + y = 100 e x = 20:
2(20) + y = 100
40 + y = 100
y = 100 – 40
y = 60
Resultado: x = 20 e y = 60.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO com as alternativas D e E!
- Na alternativa D (20 e 80): A soma daria 20 + 80 + 20 = 120%. Passou de 100%, impossível.
- Na alternativa E (25 e 50): A soma daria 25 + 50 + 25 = 100%. A soma bate, mas a média daria errada na conta.
Sempre verifique se x + y + x = 100 antes de qualquer coisa. Isso já elimina a letra D de cara.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: x vale 20 e y vale 60.
- Expectativa: Alternativa C.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 10 e 80.
- Diagnóstico do Erro: Erro na Média.
- Análise:
- Soma: 10 + 80 + 10 = 100 (OK).
- Média: (3.10 + 5.80 + 12.10) / 100 = (30 + 400 + 120) / 100 = 5,5 minutos.
- O enunciado diz que a média é 6. Deu errado.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 10 e 90.
- Diagnóstico do Erro: Soma Estourada.
- Análise: 10 + 90 + 10 = 110%. A população não pode ser maior que 100%.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 20 e 60.
- Análise de Correspondência: Perfeita.
- Análise:
- Soma: 20 + 60 + 20 = 100% (Confere).
- Média: (3.20 + 5.60 + 12.20) / 100 = (60 + 300 + 240) / 100 = 600 / 100 = 6 minutos. (Confere).
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
D) 20 e 80.
- Diagnóstico do Erro: Soma Estourada.
- Análise: 20 + 80 + 20 = 120%. Impossível estatisticamente.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 25 e 50.
- Diagnóstico do Erro: Erro na Média.
- Análise:
- Soma: 25 + 50 + 25 = 100% (OK).
- Média: (3.25 + 5.50 + 12.25) / 100 = (75 + 250 + 300) / 100 = 6,25 minutos.
- Passou de 6. Não é a resposta.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Para descobrir a composição demográfica da pesquisa, utilizamos um sistema de equações que equilibra a soma total da população (100%) com a média ponderada do tempo de leitura, revelando que os jovens e idosos (x) representam 20% cada, enquanto os adultos (y) são a maioria com 60%.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
2 Equações salvam o dia: Soma = 100 e Média = 6.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conecte isso com Química (Isótopos).
O cálculo da Massa Atômica na Tabela Periódica é idêntico a essa questão.
Exemplo: O Cloro tem massa 35,5. Isso não existe na natureza. Na verdade, existe o Cloro-35 (x%) e o Cloro-37 (y%). A média ponderada da abundância deles na natureza resulta no número quebrado 35,5. A estatística é a linguagem universal da ciência!
