Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses
valores a, b e c são, respectivamente, os diâmetros dos círculos C1, C2 e C3, como apresentados na figura.
Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área (C1) = área (C2) + área (C3).
Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma
pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um
instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.
A partir da medida do ângulo a, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.
A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois
a) 0° < α < 90°
b) α = 90°
c) 90° < α < 180°
d) α = 180°
e) 180° < α < 360°
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana (Relação entre Lados e Ângulos em Triângulos).
- Lei dos Cossenos (Conceitual).
- Teorema de Pitágoras.
Tema/Objetivo Geral:
Analisar a relação entre o quadrado da medida de um lado de um triângulo e a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, em função do ângulo oposto.
Nível da Questão:
Médio.
Justificativa: O aluno precisa extrapolar o Teorema de Pitágoras. Todos sabem que se o ângulo é 90º, a conta é igual. Mas o que acontece se o ângulo abrir mais? A relação de desigualdade (maior ou menor) exige raciocínio geométrico ou conhecimento da Lei dos Cossenos.
Gabarito:
Letra C – 90° < α < 180°.
Resumo: Pelo Teorema de Pitágoras, se o ângulo fosse 90°, a área da pizza maior seria igual à soma das outras. Para que a área seja maior, o lado correspondente tem que crescer. Para o lado crescer, o ângulo oposto tem que abrir mais que 90° (ser obtuso).
Resolução Passo a Passo
1️⃣ PASSO – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
A Missão:
O professor diz: “A área da minha pizza é MAIOR do que a soma das áreas das pizzas de vocês dois.”
Temos um triângulo formado pelos diâmetros das pizzas.
A pizza do professor corresponde ao lado oposto ao ângulo. A pergunta é: Qual deve ser o valor de αpara que essa afirmação seja verdadeira?
A Analogia Central (A Boca do Jacaré):
- Boca Fechada (Ângulo Agudo): A distância entre os dentes (o lado oposto) é pequena.
- Boca Reta (90º): A distância é média (Pitágoras:
a2=b2+c2) - Boca Aberta (Ângulo Obtuso): A distância entre os dentes fica enorme. O lado oposto cresce muito (
a2>b2+c2).
O professor quer que a pizza dele seja maior. Então ele precisa abrir bem a boca do jacaré.
Nosso Plano de Ataque:
- Lembrar que Área do Círculo depende do Diâmetro ao quadrado (
D2D2). - Lembrar que Pitágoras (
a2=b2+c2) vale para 90º. - Deduzir que, para
a2ser maior que a soma, o ângulo tem que ser maior que 90º.
2️⃣PASSO- DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos usar a Lei dos Cossenos (simplificada para análise qualitativa):
a2=b2+c2−2bc⋅cos(α)- Se
α=90∘α=90∘,cos(90)=0cos(90)=0. A fórmula vira Pitágoras:a2=b2+c2(Igualdade). - Se
α>90∘α>90∘(Obtuso), o cosseno é negativo.- A fórmula fica:
a2=b2+c2−(número negativo) - Menos com menos dá mais.
a2=b2+c2+algo- Logo:
a2>b2+c2
- A fórmula fica:
Conclusão Matemática:
Para a área da pizza a (proporcional a a2) ser maior que a soma das outras, o ângulo αdeve ser obtuso (entre 90º e 180º).
3️⃣ PASSO- INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
O enunciado dá uma pista visual valiosa.
A figura mostra as meias-pizzas montadas sobre os lados de um triângulo.
O ângulo alfa está entre os diâmetros das pizzas menores (b e c).
O lado oposto a alfa é o diâmetro da pizza do professor (a).
O professor afirma: Área(A) > Área(B) + Área(C).
Como a área é proporcional ao quadrado do diâmetro, a afirmação equivale a dizer:
a^2 > b^2 + c^2.
Vamos testar os ângulos:
Se alfa = 90 graus: O triângulo é retângulo. a^2 = b^2 + c^2. (Áreas iguais). Não serve.
Se alfa < 90 graus: O triângulo é acutângulo. O lado “a” diminui. a^2 < b^2 + c^2. (Pizza do professor perde). Não serve.
Se alfa > 90 graus: O triângulo é obtusângulo. O lado “a” estica. a^2 > b^2 + c^2. (Pizza do professor ganha). SERVE!
Portanto, alfa deve estar no intervalo entre 90 e 180 graus.
ALERTA DE DETETIVE!
CUIDADO com o 180 graus (Letra D)!
Se o ângulo fosse exatamente 180 graus, o triângulo deixaria de existir (os três lados ficariam alinhados numa reta, e “a” seria igual a b + c).
Nesse caso extremo, a^2 = (b+c)^2 = b^2 + 2bc + c^2.
A área seria muito maior, sim. Mas 180 graus não forma um triângulo, forma uma linha (triângulo degenerado). O texto diz que ele “formou um triângulo”. Então o ângulo tem que ser menor que 180 graus para o triângulo fechar.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
Síntese do raciocínio: Para o lado oposto ser “gigante” (vencer a soma dos quadrados dos outros), o ângulo tem que ser “aberto” (obtuso).
Expectativa: Intervalo de 90 a 180.
4️⃣ PASSO- ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
a) 0° < α < 90°
- Diagnóstico do Erro: Triângulo Acutângulo.
- Análise: Nesse caso, o lado oposto é pequeno. A Lei dos Cossenos mostra que
a2<b2+c2a2<b2+c2. A pizza do professor seria menor que a soma das outras. - Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
b) α = 90°
- Diagnóstico do Erro: Teorema de Pitágoras.
- Análise: Nesse caso exato, a área da pizza maior é IGUAL à soma das áreas das menores. O texto diz que o professor afirmou ser MAIOR.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
c) 90° < α < 180°
- Análise: Perfeito. É a definição de ângulo obtuso. Em um triângulo obtusângulo, o quadrado do lado oposto ao ângulo obtuso é maior que a soma dos quadrados dos outros dois lados. Isso garante que a Pizza A vença a soma de B e C.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
d) α = 180°
- Diagnóstico do Erro: Colinearidade.
- Análise: Como vimos no alerta, com 180º não se forma um triângulo, e sim um segmento de reta. Embora a relação matemática de grandeza se mantivesse, geometricamente viola a condição de “formar um triângulo”.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
e) 180° < α < 360°
- Diagnóstico do Erro: Ângulo Côncavo.
- Análise: Em geometria euclidiana plana, os ângulos internos de um triângulo nunca passam de 180º (a soma total é 180º). Um ângulo individual maior que 180º é impossível dentro de um triângulo simples.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Pitágoras é o ponto de equilíbrio. Se você empurra o ângulo para mais de 90, a hipotenusa quebra a igualdade e fica “gananciosa”, pegando mais valor para si.
Resumo-flash:
“Boca fechada (agudo) perde, boca reta (90) empata, boca aberta (obtuso) ganha.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): 🧠
Essa questão é uma aplicação visual da Síntese de Clairaut, que estuda a relação a2 vs (b2+c2).
<<: Acutângulo.==: Retângulo.>>: Obtusângulo.
Engenheiros usam isso para saber se uma estrutura vai fechar com folga ou se vai ficar curta demais.
