Uma loja vende seus produtos de duas formas: à vista ou financiado em três parcelas mensais iguais. Para definir o valor dessas parcelas nas vendas financiadas, a loja aumenta em 20% o valor do produto à vista e divide esse novo valor por 3. A primeira parcela deve ser paga no ato da compra, e as duas últimas, em 30 e 60 dias após a compra.
Um cliente da loja decidiu comprar, de forma financiada, um produto cujo valor à vista é R$ 1 500,00.
Utilize 5,29 como aproximação para √28.
A taxa mensal de juros compostos praticada nesse financiamento é de
a) 6,7%
b) 10%
c) 20%
d) 21,5%
e) 23,3%
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática Financeira (Juros Compostos e Valor Presente).
- Álgebra (Equação do 2º Grau).
Tema/Objetivo Geral:
Calcular a taxa de juros efetiva de um financiamento com entrada, equiparando o valor à vista com o valor presente das parcelas (Fluxo de Caixa Descontado).
Nível da Questão:
Difícil.
Justificativa: A questão exige a montagem de uma equação de valor que resulta em uma equação do 2º grau. O aluno não pode apenas aplicar a fórmula básica de Juros Compostos (M = C(1+i)^t) diretamente; ele precisa somar parcelas em tempos diferentes.
Gabarito:
Letra D – 21,5%.
Resumo: Igualando o preço à vista (1500) com as parcelas trazidas ao valor presente, chegamos a uma equação quadrática. Resolvendo com Bhaskara e usando a aproximação dada para a raiz de 28, encontramos a taxa de 21,5%.
Resolução Passo a Passo
1️⃣ – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
A Missão:
A loja oferece o produto por R$ 1.500,00 à vista.
Se parcelar, o preço sobe 20% e divide em 3 vezes (uma na hora, uma em 30 dias, uma em 60 dias).
A pergunta é: Qual é a taxa de juros mensal real (i) embutida nessa operação?
Nosso Plano de Ataque:
- Calcular o valor das parcelas.
- Montar a Equação do Valor Presente (igualar o preço à vista com as parcelas).
- Resolver a equação (vai cair numa de 2º grau).
2️⃣ – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Dados:
- Preço à Vista: 1.500.
- Preço a Prazo Total: 1.500 + 20% = 1.500 + 300 = 1.800.
- Valor da Parcela: 1.800 / 3 = 600.
O Fluxo de Pagamento:
- Tempo 0 (Hoje): Paga 600 (Entrada).
- Tempo 1 (1 mês): Paga 600.
- Tempo 2 (2 meses): Paga 600.
Ferramenta Matemática:
Para trazer dinheiro do futuro para o presente, dividimos pelo fator de juros (1 + i) elevado ao tempo.
VP=VF/(1+i)t
3️⃣ – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos montar a equação mestra.
O valor do produto (1500) deve ser igual à soma das parcelas trazidas para hoje.
Equação:
1500 = (600 na hora) + (600 / (1+i)^1) + (600 / (1+i)^2)
Simplificando:
Vamos passar o primeiro 600 (entrada) para a esquerda subtraindo.
1500 – 600 = 600/(1+i) + 600/(1+i)^2
900 = 600/(1+i) + 600/(1+i)^2
Dica de Mestre: Divida tudo por 300 para facilitar a vida!
3 = 2/(1+i) + 2/(1+i)^2
Resolvendo a Álgebra:
Vamos chamar (1+i) de x.
3 = 2/x + 2/x^2
Para sumir com a fração, multiplica tudo por x^2:
3x^2 = 2x + 2
Passando tudo para o lado esquerdo:
3x^2 – 2x – 2 = 0
Agora, a fórmula de Bhaskara.
a = 3; b = -2; c = -2.
Delta = b^2 – 4.a.c
Delta = (-2)^2 – 4 . 3 . (-2)
Delta = 4 + 24
Delta = 28
Achar o x:
x = (-b +/- raiz(Delta)) / 2a
x = (2 + 5,29) / 6 (Usando a dica do enunciado: raiz de 28 = 5,29)
x = 7,29 / 6
x = 1,215
Volta para o i:
x = 1 + i
1,215 = 1 + i
i = 0,215
i = 21,5%
ALERTA DE DETETIVE! 🚨
CUIDADO com a alternativa C (20%)!
Essa é a armadilha mais sedutora. O enunciado diz que a loja “aumenta em 20% o valor”. O aluno pensa: “Se aumentou 20%, a taxa é 20%”.
Por que está errado?
Porque você deu uma entrada! Ao pagar a primeira parcela na hora, você amortizou a dívida. Você não pegou 1500 emprestado por 3 meses. Você pegou efetivamente 900 emprestado (1500 – 600 da entrada). E sobre esses 900, você vai pagar juros altos nas outras parcelas. A entrada faz a taxa real de juros subir em relação ao acréscimo nominal.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Resolvemos uma equação de fluxo de caixa que resultou numa equação de 2º grau. O resultado foi 0,215.
- Expectativa: 21,5%.
4️⃣ – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
a) 6,7%
- Diagnóstico do Erro: Divisão simples.
- Análise: O aluno pode ter pego os 20% totais e dividido por 3 meses (20 / 3 = 6,66%). Isso seria juros simples e ignoraria completamente a matemática financeira da entrada.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
b) 10%
- Diagnóstico do Erro: Cálculo aproximado errado.
- Análise: Valor sem base de cálculo evidente com os dados fornecidos, talvez uma tentativa de juros simples sobre o saldo devedor sem considerar a composição.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
c) 20%
- Diagnóstico do Erro: O Distrator Literal.
- Análise: Como explicado no alerta, é o valor nominal do aumento citado no texto. Confunde “aumento de preço” com “taxa de juros composta mensal”.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
d) 21,5%
- Análise: Perfeito. É o resultado exato da equação de equivalência de capitais, considerando a entrada e os prazos de 30 e 60 dias.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
e) 23,3%
- Diagnóstico do Erro: Erro de cálculo na Bhaskara.
- Análise: Poderia surgir se o aluno errasse o sinal na fórmula de Bhaskara ou fizesse uma aproximação grosseira da divisão final.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Quando tem entrada, a taxa de juros real é sempre maior do que parece. O dinheiro que você paga na hora “não conta” para o cálculo dos juros de quem te emprestou o resto.
Resumo-flash:
“Deu entrada? O juro dispara! A Bhaskara revelou que 20% nominais viraram 21,5% reais.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Esse cálculo é a base da Tabela Price usada em financiamentos de carros e casas. O banco diz uma taxa, mas o CET (Custo Efetivo Total) é o que importa. Essa questão ensina a calcular o verdadeiro custo do dinheiro.
