Em um experimento realizado para determinar a densidade da água de um lago, foram utilizados alguns materiais conforme ilustrado: um dinamômetro D com graduação de 0 N a 50 N e um cubo maciço e homogêneo de 10 cm de aresta e 3 kg de massa. Inicialmente, foi conferida a calibração do dinamômetro, constatando-se a leitura de 30 N quando o cubo era preso ao dinamômetro e suspenso no ar. Ao mergulhar o cubo na água do lago, até que metade do seu volume ficasse submersa, foi registrada a leitura de 24 N no dinamômetro.
Considerando que a aceleração da gravidade local é de 10 m/s² , a densidade da água do lago, em g/cm³, é
A) 0,6.
B) 1,2.
C) 1,5.
D) 2,4.
E) 4,8.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Hidrostática (Princípio de Arquimedes, Força de Empuxo)
- Dinâmica (Força Peso, Força Resultante)
- Geometria Espacial (Volume de um Cubo)
- Conversão de Unidades
Tema/Objetivo Geral: Determinação da densidade de um líquido a partir do cálculo da força de empuxo exercida sobre um objeto parcialmente submerso.
Nível da Questão: Médio – A questão é considerada de nível médio porque exige a articulação de vários conceitos de física: cálculo do peso, cálculo do empuxo a partir da variação da força medida, cálculo do volume do objeto e sua parte submersa, e a manipulação da fórmula do empuxo para isolar a densidade. Além disso, a conversão de unidades (cm para m, ou o uso de unidades consistentes) é um ponto crítico que pode levar ao erro.
Gabarito: B) 1,2. A alternativa está correta. O empuxo, que é a diferença entre o peso real (30 N) e o peso aparente (24 N), vale 6 N. Usando a fórmula do empuxo (E = ρ.V_submerso.g) e o volume submerso de 0,0005 m³, encontramos que a densidade da água é de 1200 kg/m ³, o que equivale a 1,2 g/cm³.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial
“Considerando que a aceleração da gravidade local é de 10 m/s², a densidade da água do lago, em g/cm³, é”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para calcular a densidade da água do lago. Para isso, nos fornece dados de um experimento onde um cubo de dimensões e massa conhecidas é pesado no ar e depois parcialmente mergulhado nessa água.
Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é usar os dados do experimento para encontrar o valor do empuxo, e então usar a fórmula do empuxo para calcular a densidade do líquido (a água do lago).
Pergunta de Atenção ✔
Você reparou que o dinamômetro marcou um valor menor quando o cubo foi mergulhado na água? Essa “perda de peso” é real? Para onde foi essa força que “desapareceu”? A resposta para essa pergunta é a chave para encontrar o empuxo!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Explicação de termos
Para resolver este problema, precisamos ser especialistas em algumas forças e fórmulas da hidrostática:
- Força Peso (P):
- Explicação: É a força com que a gravidade puxa um objeto para baixo.
- Fórmula: P = m * g (onde m é a massa e g é a aceleração da gravidade).
- Peso Real: É o peso do objeto medido no vácuo ou, de forma aproximada, no ar. No problema, a leitura do dinamômetro no ar (30 N) é o peso real do cubo.
- Força de Empuxo (E):
- Explicação: É a força que um fluido (líquido ou gás) exerce para cima sobre qualquer objeto imerso nele. É a força que nos faz sentir mais leves dentro de uma piscina.
- Fórmula (Princípio de Arquimedes):E = ρ_líquido * V_submerso * g
- ρ_líquido: Densidade do líquido. É o que queremos descobrir!
- V_submerso: Volume da parte do objeto que está debaixo d’água.
- g: Aceleração da gravidade.
- Peso Aparente (P_ap):
- Explicação: É o peso de um objeto medido quando ele está imerso em um fluido. É o valor que o dinamômetro marca na segunda situação. Ele é menor que o peso real porque o empuxo está “ajudando” a segurar o objeto, aliviando a força no dinamômetro.
- Relação Fundamental: Empuxo = Peso Real – Peso Aparente ou E = P – P_ap
- Volume de um Cubo:
- Fórmula: V = aresta³
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada
Imagine que você está pescando com uma balança de mola (dinamômetro). Você pendura uma “caixa” de 3 kg e a balança marca 30 Newtons. Isso é o peso real. Depois, você mergulha metade da caixa na água do lago. A balança agora marca apenas 24 Newtons. A “força que sumiu” (30 – 24 = 6 Newtons) é exatamente a força que a água está fazendo para cima na caixa, ou seja, o empuxo. Sabendo o valor do empuxo e o tamanho da parte da caixa que está na água, podemos descobrir o quão “densa” ou “pesada” é a água daquele lago.
Estratégia Geral
Nossa estratégia será uma sequência de cálculos lógicos:
- Calcular o Empuxo: Subtrair o peso aparente (na água) do peso real (no ar).
- Calcular o Volume Submerso: Calcular o volume total do cubo e dividi-lo por dois, já que metade dele foi submersa.
- Calcular a Densidade: Reorganizar a fórmula do empuxo (E = ρ.V.g) para isolar a densidade (ρ) e substituir os valores encontrados.
- Converter as Unidades: Garantir que o resultado final esteja em g/cm³, como pedido.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado
1. Calcular o Empuxo (E):
- Peso Real (P) = 30 N (leitura no ar)
- Peso Aparente (P_ap) = 24 N (leitura na água)
- E = P – P_ap
- E = 30 N – 24 N
- E = 6 N
2. Calcular o Volume Submerso (V_submerso):
- Aresta do cubo = 10 cm.
- Volume Total do Cubo (V_total):
V_total = aresta³ = (10 cm)³ = 1000 cm³ - O enunciado diz que metade do volume ficou submersa.
V_submerso = V_total / 2
V_submerso = 1000 cm³ / 2 = 500 cm³
3. Calcular a Densidade (ρ_líquido):
- Agora usamos a fórmula do empuxo: E = ρ_líquido * V_submerso * g
- Atenção às unidades! A força está em Newtons (N) e a gravidade em m/s². Para que as unidades sejam consistentes, o volume deve estar em metros cúbicos (m³).
- Conversão de Volume: 1 m = 100 cm, então 1 m³ = (100 cm)³ = 1.000.000 cm³.
V_submerso = 500 cm³ = 500 / 1.000.000 m³ = 0,0005 m³ (ou 5 x 10⁻⁴ m³) - Substituindo os valores na fórmula:
6 N = ρ_líquido * 0,0005 m³ * 10 m/s²
6 = ρ_líquido * 0,005 - Isolando a densidade:
ρ_líquido = 6 / 0,005
ρ_líquido = 1200 kg/m ³
Verificação Intermediária
Encontramos a densidade da água no Sistema Internacional ( kg/m ³). Agora, só falta converter para a unidade pedida no enunciado.
4. Converter as Unidades da Densidade:
- A pergunta pede o resultado em g/cm³.
- Sabemos que 1 kg = 1000 g e 1 m³ = 1.000.000 cm³.
- A relação de conversão é: 1 g/cm³ = 1000 kg/m ³.
- Para converter de kg/m ³ para g/cm³, basta dividir por 1000.
ρ_líquido = 1200 / 1000
ρ_líquido = 1,2 g/cm³
Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha é a confusão com as unidades. Se você usasse o volume em cm³ (500) diretamente na fórmula do empuxo com a gravidade em m/s², o resultado seria completamente errado. Manter a consistência das unidades (usar tudo no Sistema Internacional: N, m³, m/s², kg/m ³) é a maneira mais segura de evitar erros. Depois, no final, faz-se a conversão para a unidade pedida.
Fechamento e expectativa
Nosso cálculo detalhado, com atenção às unidades, nos levou ao valor de 1,2 g/cm³ para a densidade da água do lago. Vamos agora verificar as alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
Listagem das Alternativas
A) 0,6.
B) 1,2.
C) 1,5.
D) 2,4.
E) 4,8.
Justificativa Individual
- 🔴 A) 0,6: Incorreta. Este valor poderia ser obtido se você usasse o volume total do cubo (1000 cm³) em vez do volume submerso, ou se errasse a conversão.
- 🟢 B) 1,2: Correta. É o valor exato que encontramos após calcular o empuxo, aplicar a fórmula e converter as unidades corretamente.
- 🔴 C) 1,5: Incorreta. Não corresponde a um erro de cálculo óbvio com os dados fornecidos.
- 🔴 D) 2,4: Incorreta. Este valor (24) aparece no enunciado como o peso aparente, mas em outra unidade (N). É um distrator.
- 🔴 E) 4,8: Incorreta. Não corresponde a um resultado lógico dos cálculos.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio
A diferença entre o peso do cubo no ar (30 N) e na água (24 N) nos deu o valor do empuxo (6 N). Sabendo que o volume submerso era metade do volume do cubo (500 cm³ ou 0,0005 m³), usamos a fórmula do empuxo (E = ρ.V.g) para calcular a densidade do líquido, que resultou em 1200 kg/m ³. Convertendo para a unidade solicitada, chegamos a 1,2 g/cm³.
Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B) 1,2.
Resumo Final para Revisão 🔍
Para fixar: A “perda de peso” de um objeto na água é o Empuxo. Com o valor do Empuxo e o volume submerso, você pode sempre descobrir a densidade do líquido. Lembre-se de ser rigoroso com as unidades
