Questão 55 caderno azul ENEM 2008

A figura abaixo mostra um reservatório de água na forma de cilindro circular reto, com 6 m de altura. Quando está completamente cheio, o reservatório é suficiente para abastecer, por um dia, 900 casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de água. Suponha que, um certo dia, após uma campanha de conscientização do uso da água, os moradores das 900 casas abastecidas por esse reservatório tenham feito economia de 10% no consumo de água.

Nessa situação,

a) a quantidade de água economizada foi de 4,5 m³.

b) a altura do nível da água que sobrou no reservatório, no final do dia, foi igual a 60 cm.

c) a quantidade de água economizada seria suficiente para abastecer, no máximo, 90 casas cujo consumo diário fosse de 450 litros.

d) os moradores dessas casas economizariam mais de R$ 200,00, se o custo de 1 m³ de água para o consumidor fosse igual a R$ 2,50.

e) um reservatório de mesma forma e altura, mas com raio da base 10% menor que o representado, teria água suficiente para abastecer todas as casas.

Matérias Necessárias para a Solução da Questão:

Interpretação de Problemas
Aritmética Básica (Cálculo de Porcentagem, Multiplicação)
Conversão de Unidades de Volume (Litros para m³)
Geometria Espacial (Proporcionalidade entre Volume e Altura em um Cilindro)

Tema/Objetivo Geral: Aplicação de conceitos matemáticos para analisar uma situação-problema do cotidiano envolvendo consumo e economia de água.

Nível da Questão: Médio.

Detalhe: A questão é classificada como média porque, embora os cálculos individuais sejam simples, ela exige a execução de múltiplos passos, a correta conversão entre diferentes unidades (litros, m³, metros, cm) e a aplicação de um raciocínio de proporcionalidade geométrica. A quantidade de etapas e a necessidade de atenção aos detalhes aumentam a complexidade.

Gabarito:Letra B

Explicação: Em um cilindro, o volume é diretamente proporcional à altura. Portanto, a economia de 10% do volume total de água significa que 10% da altura total do reservatório sobrará, e 10% de 6 metros é exatamente 60 cm.

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo: A missão é calcular os efeitos de uma economia de 10% no consumo de água de 900 casas e, com base nesses cálculos, verificar qual das cinco afirmações (A, B, C, D ou E) é a única verdadeira.

Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense no reservatório como um copo de suco que você enche toda manhã e bebe durante o dia. Um dia, você decide economizar e bebe 10% a menos. A questão nos faz perguntas sobre essa economia: “Quantos ml de suco sobraram no copo?” (Alternativa A). “Qual a altura do suco que sobrou no copo?” (Alternativa B). “Com o suco que sobrou, quantos copinhos de shot eu conseguiria encher?” (Alternativa C). O verdadeiro desafio é fazer as contas certas para cada uma dessas perguntas.

Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Nosso plano será uma perícia em 3 etapas:
1. Calcular a Cena do Crime (Situação Normal): Primeiro, vamos calcular o volume total de água que as 900 casas consomem em um dia normal. Esse é o volume total do reservatório.
2. Analisar a Pista Principal (A Economia): Em seguida, vamos calcular o volume exato que foi economizado, ou seja, 10% do consumo total.
3. Interrogar os Suspeitos (As Alternativas): Vamos usar nossos cálculos para testar a veracidade de cada uma das cinco afirmações.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Para este caso, precisamos de uma Ficha Técnica de Investigação que organize nossos cálculos preliminares e as conversões de unidades.

FICHA TÉCNICA: Dados da Operação “Consciência Hídrica”
- Consumo Total Diário (Volume do Reservatório):
  - 900 casas × 500 litros/casa = 450.000 litros
- Conversão de Unidades Crucial:
  - 1 metro cúbico (m³) = 1.000 litros
- Volume Total em m³:
  - 450.000 L / 1.000 = 450 m³
- Volume Economizado (10% do total):
  - 10% de 450.000 L = 45.000 litros
  - 10% de 450 m³ = 45 m³
- Princípio Geométrico Chave (A Pista Mestra):
  - Em um cilindro, o volume (V) é a área da base (A) vezes a altura (h). V = A × h.
  - Como a base é constante, o Volume é diretamente proporcional à Altura. Isso significa que uma porcentagem do volume corresponde à mesma porcentagem da altura!

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Com nossa Ficha Técnica completa, estamos prontos para a autópsia das alternativas.

Execução do Plano: Já temos os números chave: Volume Total = 450 m³; Volume Economizado = 45 m³. Agora vamos confrontar os suspeitos.

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais fatal aqui é a conversão de unidades. A alternativa (A) usa 4,5 m³, a alternativa (B) usa 60 cm, a alternativa (D) usa m³. A questão mistura litros, metros cúbicos e centímetros de propósito para pegar o detetive desatento. Anote a conversão 1 m³ = 1000 L e 1 m = 100 cm em letras garrafais no seu caderno de anotações!

A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A economia de 10% no consumo resulta em um volume de 45 m³ (ou 45.000 L) de água que sobrou no reservatório. Pela proporcionalidade do cilindro, esse volume restante corresponde a 10% da altura total de 6 m, ou seja, 0,6 m (60 cm).
- Expectativa: A alternativa correta deve ser consistente com esses valores.

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

Alternativa A: a quantidade de água economizada foi de 4,5 m³.
- A “Narrativa do Erro”: Um erro de um zero na hora da conta ou da conversão.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo. Nossa investigação provou que a economia foi de 45 m³.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

Alternativa B: a altura do nível da água que sobrou no reservatório, no final do dia, foi igual a 60 cm.
- Análise de Correspondência: Esta alternativa bate perfeitamente com nossa “Pista Mestra”. Se 10% do volume foi economizado, 10% do volume sobrou. Em um cilindro, 10% do volume ocupa 10% da altura.
  - Altura total = 6 m.
  - Altura que sobrou = 10% de 6 m = 0,6 m.
  - Convertendo: 0,6 m = 60 cm.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.

Alternativa C: a quantidade de água economizada seria suficiente para abastecer, no máximo, 90 casas cujo consumo diário fosse de 450 litros.
- A “Narrativa do Erro”: Um erro na divisão.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo. Água economizada = 45.000 litros. Número de casas = 45.000 L / 450 L/casa = 100 casas.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

Alternativa D: os moradores dessas casas economizariam mais de R$ 200,00, se o custo de 1 m³ de água para o consumidor fosse igual a R$ 2,50.
- A “Narrativa do Erro”: Erro na multiplicação.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo. Volume economizado = 45 m³. Valor economizado = 45 m³ × R$ 2,50/m³ = R$ 112,50. Este valor não é “mais de R$ 200,00”.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

Alternativa E: um reservatório de mesma forma e altura, mas com raio da base 10% menor que o representado, teria água suficiente para abastecer todas as casas.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato pensa que uma redução de 10% no raio causa uma redução de 10% no volume.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro Conceitual (Relação Quadrática). O volume do cilindro depende do quadrado do raio (V = πr²h). Se o novo raio é 90% do original (0,9r), o novo volume será (0,9)² = 0,81, ou seja, 81% do volume original. Isso representa uma perda de 19% na capacidade, que não seria suficiente.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa B é a correta, utilizando o elegante princípio da proporcionalidade direta entre volume e altura em um cilindro, que torna o cálculo imediato e preciso.

Resumo-flash (A Imagem Mental): “No cilindro, a porcentagem que você vê no volume é a mesma que você mede na altura com a régua.”

🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O erro conceitual da alternativa E, que confunde uma relação linear com uma quadrática, é um dos erros mais comuns e importantes de se entender na ciência. Ele se conecta diretamente com a Física da Energia Cinética. A fórmula da energia cinética é E = ½mv². A energia de um impacto não aumenta linearmente com a velocidade, mas com o quadrado da velocidade. É por isso que dobrar a velocidade de um carro (de 50 km/h para 100 km/h) não dobra a força do impacto, mas a quadruplica, tornando os acidentes em alta velocidade exponencialmente mais perigosos. Entender a diferença entre r e r² pode salvar sua vida.

Análise: Resolução com Ambiguidade. ⚠️

Justificativa: A questão é ambígua devido à multiplicidade de caminhos de resolução e à alta probabilidade de erros em etapas intermediárias. O candidato precisa navegar por cálculos de porcentagem, múltiplas conversões de unidades (L, m³, m, cm) e aplicar um conceito geométrico que pode não ser imediatamente óbvio (a proporcionalidade direta entre volume e altura em um cilindro). Cada alternativa é, na prática, um mini-problema separado, e um único erro de cálculo em qualquer um deles pode levar a uma conclusão errada. Os distratores são fortes porque se baseiam em erros de cálculo comuns (como o erro decimal na alternativa A).