Questão 54 caderno azul ENEM 2008

A contagem de bois

Em cada parada ou pouso, para jantar ou dormir, os bois são contados, tanto na chegada quanto na saída. Nesses lugares, há sempre um potreiro, ou seja, determinada área de pasto cercada de arame, ou mangueira, quando a cerca é de madeira. Na porteira de entrada do potreiro, rente à cerca, os peões formam a seringa ou funil, para afinar a fila, e então os bois vão entrando aos poucos na área cercada. Do lado interno, o
condutor vai contando; em frente a ele, está o marcador, peão que marca as reses. O condutor conta 50 cabeças e grita: — Talha! O marcador, com o auxílio dos dedos das mãos, vai marcando as talhas. Cada dedo da mão direita corresponde a 1 talha, e da mão esquerda, a 5 talhas. Quando entra o último boi, o marcador diz: — Vinte e cinco
talhas! E o condutor completa: — E dezoito cabeças. Isso significa 1.268 bois.

Para contar os 1.268 bois de acordo com o processo descrito acima, o marcador utilizou

a) 20 vezes todos os dedos da mão esquerda.

b) 20 vezes todos os dedos da mão direita.

c) todos os dedos da mão direita apenas uma vez.

d) todos os dedos da mão esquerda apenas uma vez.

e) 5 vezes todos os dedos da mão esquerda e 5 vezes todos os dedos da mão direita.

Matérias Necessárias para a Solução da Questão:

Interpretação de Texto
Raciocínio Lógico-Matemático
Aritmética Básica (Multiplicação e Divisão)
Sistema de Numeração (Base Mista)

Tema/Objetivo Geral: Decodificar um sistema de contagem não decimal descrito em um texto e aplicar essa lógica para resolver um problema específico.

Nível da Questão: Médio.

Detalhe: A questão é classificada como média porque exige que o candidato traduza o texto em um algoritmo matemático. Não é um problema de aplicação direta de fórmula, mas de construção de um modelo de raciocínio a partir de uma descrição verbal, o que envolve interpretação e lógica em múltiplos passos.

Gabarito:D

Explicação: O sistema funciona em blocos de 50 bois (“talhas”). A mão direita marca as talhas e a esquerda marca grupos de 5 talhas. O total de “vinte e cinco talhas” contado pelo marcador (1.250 bois) corresponde exatamente ao uso de todos os dedos da mão esquerda uma única vez.

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo: A missão é muito clara: decifrar o “ábaco humano” dos boiadeiros. Precisamos entender como eles usam os dedos das mãos direita e esquerda para contar grandes quantidades e, em seguida, aplicar esse método para descobrir como o marcador registrou a contagem de 1.268 bois.

Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense em um cronômetro digital. Os segundos correm de 0 a 59 (a mão direita). Cada vez que os segundos chegam a 60, o contador de minutos (a mão esquerda) avança uma unidade. O verdadeiro desafio aqui é entender o “valor” de cada dedo e de cada mão nesse sistema de contagem.

Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
1. Decifrar o Código: Vamos definir o valor de uma “talha” em bois, o valor de cada dedo da mão direita e o valor de cada dedo da mão esquerda.
2. Analisar a Contagem Final: Vamos focar nos números ditos no final da contagem: “Vinte e cinco talhas!” e “E dezoito cabeças”.
3. Traduzir a Contagem: Vamos converter “vinte e cinco talhas” para o sistema de contagem com as mãos para ver quais dedos foram usados.
4. Verificar o Total: Vamos somar tudo para confirmar que o método bate com o número final de 1.268 bois.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Para decifrar este sistema, a melhor ferramenta é uma Ficha Técnica do Sistema de Contagem.

FICHA TÉCNICA: O “Ábaco” dos Boiadeiros
- Unidade Básica (Grito do Condutor): 1 Talha = 50 bois
- Mão Direita (Unidades de Talha):
  - Função: Marcar as talhas.
  - Valor por dedo: 1 talha (50 bois).
  - Capacidade total: 5 dedos × 1 talha/dedo = 5 talhas (250 bois).
- Mão Esquerda (Grupos de 5 Talhas):
  - Função: Marcar cada vez que a mão direita “enche”.
  - Valor por dedo: 5 talhas (5 × 50 = 250 bois).
  - Capacidade total: 5 dedos × 5 talhas/dedo = 25 talhas (1.250 bois).
- Capacidade Total do Marcador: 25 talhas (mão esquerda cheia) = 1.250 bois.

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Agora, vamos aplicar nossa Ficha Técnica ao problema.

Execução do Plano (Análise da Contagem):
- A contagem para quando entra o “último boi”. O condutor e o marcador precisam fechar a conta.
- O marcador diz: “Vinte e cinco talhas!”.
- Vamos traduzir isso usando nosso sistema:
  - 25 talhas = 5 dedos da mão esquerda (pois cada dedo vale 5 talhas).
  - Para usar os 5 dedos da mão esquerda, ele precisou “encher” a mão direita 5 vezes.
  - Portanto, “vinte e cinco talhas” significa que ele usou todos os dedos da mão esquerda exatamente uma vez.
- O condutor completa: “E dezoito cabeças”. Isso é o “resto” da contagem, o que sobrou após a última talha de 50 ser completada.

Verificação Final:
- Bois contados pelo marcador: 25 talhas × 50 bois/talha = 1.250 bois.
- Bois contados “por fora” pelo condutor: 18 bois.
- Total: 1.250 + 18 = 1.268 bois.
- O texto confirma: “Isso significa 1.268 bois”. A matemática bate perfeitamente!

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha é se confundir na interpretação do que o marcador fez. A questão pergunta o que o marcador utilizou. O marcador é responsável pelas “talhas”. A contagem final dele foi de 25 talhas. Os 18 bois finais são um complemento do condutor, não entram na contagem de talhas do marcador. Tentar encaixar os 1.268 bois inteiros no sistema de dedos do marcador levará ao erro.

A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O marcador contou 25 talhas. Cada dedo da mão esquerda vale 5 talhas. Para contar 25 talhas, ele precisou usar todos os 5 dedos da mão esquerda.
- Expectativa: A alternativa correta deve afirmar que o marcador usou “todos os dedos da mão esquerda apenas uma vez”.

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

Vamos interrogar os suspeitos.

A) 20 vezes todos os dedos da mão esquerda.
- A “Narrativa do Erro”: Confusão total nos cálculos.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo. 20 × (25 talhas) = 500 talhas = 25.000 bois. Um valor absurdo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

B) 20 vezes todos os dedos da mão direita.
- A “Narrativa do Erro”: Confusão nos cálculos.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo. 20 × (5 talhas) = 100 talhas = 5.000 bois. Valor muito alto.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

C) todos os dedos da mão direita apenas uma vez.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato não entendeu o sistema.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro Conceitual. Isso representaria apenas 5 talhas (250 bois).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

D) todos os dedos da mão esquerda apenas uma vez.
- Análise de Correspondência: Esta alternativa é o retrato falado da nossa “Expectativa”. Usar todos os dedos da mão esquerda (5 dedos) uma vez corresponde a 5 × (5 talhas) = 25 talhas, que é exatamente o que o marcador contou.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.

E) 5 vezes todos os dedos da mão esquerda e 5 vezes todos os dedos da mão direita.
- A “Narrativa do Erro”: Uma tentativa complexa e errada de chegar ao número.
- O “Diagnóstico do Erro”: Redundância e Erro de Cálculo. “5 vezes todos os dedos da mão esquerda” já dá 125 talhas (6.250 bois). A afirmação é ilógica dentro do sistema.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa D é a correta, pois a contagem de “vinte e cinco talhas” feita pelo marcador corresponde exatamente à capacidade máxima de sua mão esquerda, utilizada uma única vez.

Resumo-flash (A Imagem Mental): “A mão direita conta os bois; a mão esquerda conta as mãos direitas.”

🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O sistema de contagem dos boiadeiros é um exemplo prático de um sistema de numeração de base mista. Enquanto nós usamos um sistema de base 10 (decimal), eles usam um sistema onde a primeira “casa” (mão direita) é de base 5 e a segunda “casa” (mão esquerda) também é de base 5. Esse mesmo princípio é fundamental na Ciência da Computação. Os computadores usam um sistema de base 2 (binário). As cores em uma tela são definidas pelo sistema RGB, que é um sistema de base 256 para cada uma das três cores (Vermelho, Verde, Azul). A capacidade de pensar e operar em diferentes bases numéricas é essencial para entender como a informação é estruturada e processada, seja por um peão no sertão ou por um supercomputador.