Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por
sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e E0 uma constante real positiva. Considere que E1 e E2 representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente.
Qual a relação entre E1 e E2?
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Logaritmos
- Escala Richter
- Propriedades de Potências e Logaritmos
🔢 Nível da Questão
🔹Médio para Difícil (Exige manipulação algébrica com logaritmos)
✅ Gabarito
- Alternativa C) E1 = 10^3 . E2
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
A questão apresenta a escala Richter, que mede a magnitude dos terremotos de acordo com a fórmula:
- M = 2/3.log(E/E0)
Onde:
- M é a magnitude do terremoto
- E é a energia liberada pelo terremoto
- E0 é uma constante positiva
🔹 Nosso objetivo:
Comparar os terremotos do Japão (M1=9,0) e da China (M2=7,0), e encontrar a relação entre suas energias E1 e E2.
💡 IMPORTANTE:
O ENEM já cobrou várias questões sobre escala Richter e terremotos!
- Em edições passadas, foi exigido que o aluno relacionasse a diferença de magnitude com a energia liberada, sempre usando logaritmos.
- A pegadinha mais comum no ENEM é fazer o aluno pensar que a relação é linear, quando na verdade é exponencial.
Agora, vamos entender como manipular essa equação corretamente!
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
🔵 1) Como a escala Richter se relaciona com a energia?
A escala Richter é logarítmica, o que significa que um aumento de uma unidade na magnitude equivale a um aumento exponencial na energia.
📌 Se um terremoto tem magnitude maior que outro, sua energia não é apenas maior – ela cresce exponencialmente!
Agora, aplicamos essa equação aos dois terremotos.
📌 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
Usamos a fórmula da escala Richter para os dois terremotos:
1️⃣ Para o terremoto no Japão (M1=9,0):
- 9 = 2/3.log(E1/E0)
Multiplicando por 3/2 para eliminar a fração:
- 9 x 3/2 = log(E1/E0)
- 27/2 = log(E1/E0)
2️⃣ Para o terremoto na China (M2=7,0M):
- 7 = 2/3.log(E1/E0)
Multiplicando por 3/2:
- 7 x 3/2 = log(E2/E0)
- 21/2 = log(E2/E0)
Agora, subtraímos as equações para encontrar a relação entre E1 e E2
✅ Passo 4: Desenvolvimento de Raciocínio
Subtraindo as equações:
- 27/2 – 21/2 = log(E1/E0) – log(E2/E0)
- 6/2 = log(E1/E2)
- 3 = log(E1/E2)
Usando a propriedade de potência de logaritmos para eliminar o logaritmo:
- 10^3 = E1/E2
- E1=10^3⋅E2
✅ Resposta: E1=10^3⋅E2
✨ Passo 5: Análise das Alternativas
✅ Alternativa C) E1=10^3⋅E2→ Correta!
❌ Alternativa A) E1=E2+2 → Errado! O aumento na energia segue uma escala exponencial, não aditiva.
❌ Alternativa B) E1=10^2⋅E2 → Errado! Um terremoto de magnitude 9 é 10^3 vezes mais energético que um de magnitude 7, e não 10^2
❌ Alternativa D) E1=10^9/7⋅E2 → Errado! O cálculo correto usa a diferença de magnitudes e a base 10.
❌ Alternativa E) E1=9/7⋅E2 → Errado! A relação entre magnitudes é exponencial, não uma fração simples.
✅ Resposta correta: Alternativa C.
🎯Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
🎯 Resumo do Raciocínio:
1️⃣ Aplicamos a fórmula da escala Richter para os dois terremotos.
2️⃣ Usamos logaritmos e propriedades algébricas para comparar as energias.
3️⃣ Encontramos que o terremoto no Japão liberou 1000 vezes mais energia que o da China.
✅ Alternativa correta: C) E1=10^3⋅E2→ Correta!
