Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir.
Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?
a) 3 doses.
b) 4 doses.
c) 6 doses.
d) 8 doses.
e) 10 doses.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Probabilidade
- Probabilidade de Eventos Independentes
- Probabilidade Complementar
Tema/Objetivo Geral:
- Calcular a probabilidade de ocorrência de um evento composto e independente, utilizando o conceito de probabilidade complementar para determinar um número máximo de tentativas que satisfaça uma condição de risco.
Nível da Questão
- Médio – A questão é de nível médio porque não pode ser resolvida com um cálculo direto. Exige a interpretação correta da condição (“risco de até 35% de que ocorra algum efeito”) e a aplicação do conceito de probabilidade complementar, que é uma abordagem indireta, mas muito mais eficiente para resolver o problema.
Gabarito
- B) 4 doses. – A alternativa está correta pois, com 4 doses, a probabilidade de ocorrer ao menos um efeito colateral é de aproximadamente 34,4%, valor que está dentro do limite aceitável de 35%. Com 5 doses, esse risco já ultrapassaria o limite.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
A pergunta central do problema é: “Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?”
1.2 O que está sendo pedido?
A questão pede para encontrarmos o número máximo de doses (n) de um medicamento que um paciente pode tomar, de forma que a chance de ele ter pelo menos um efeito colateral não ultrapasse 35%.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é testar os números de doses sugeridos nas alternativas e descobrir qual é o maior deles que mantém a probabilidade de “algum efeito colateral” menor ou igual a 35%.
1.4 Pergunta de Atenção
Você já parou para pensar que calcular a chance de “pelo menos um” evento acontecer pode ser muito complicado, mas calcular a chance de “nenhum” evento acontecer é bem mais simples? Essa ideia é a chave para resolver o problema!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Probabilidade de Eventos Independentes: Quando a ocorrência de um evento não afeta a probabilidade de outro, eles são independentes. A chance de ambos acontecerem é o produto de suas probabilidades individuais. No nosso caso, o efeito de cada dose é um evento independente.
- Fórmula: P(A e B) = P(A) × P(B)
- Probabilidade Complementar: A probabilidade de um evento acontecer é igual a 1 (ou 100%) menos a probabilidade de ele NÃO acontecer. Isso é muito útil para calcular a chance de “pelo menos um”, que é o complemento de “nenhum”.
- Fórmula: P(pelo menos um) = 1 – P(nenhum)
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos traduzir as informações para o nosso “idioma” matemático:
- A chance de ter um efeito colateral em 1 dose é de 10% (ou 0,1).
- Logo, a chance de não ter um efeito colateral em 1 dose é o que falta para 100%, ou seja, 90% (ou 0,9).
- O paciente aceita um risco de, no máximo, 35% de ter pelo menos um efeito colateral. Isso é o mesmo que dizer que ele só aceita o tratamento se a chance de não ter nenhum efeito colateral for de, no mínimo, 65% (100% – 35%).
3.2 Estratégia Geral
Nossa estratégia será muito mais fácil do que parece:
- Vamos usar a condição do paciente (chance de “nenhum” efeito colateral ≥ 65%).
- Vamos calcular a chance de “nenhum” efeito colateral para ‘n’ doses, que é (0,9)^n.
- Vamos testar os valores de ‘n’ das alternativas (3, 4, 6, 8, 10) e encontrar o maior ‘n’ que satisfaz a condição: (0,9)^n ≥ 0,65.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos montar nossa inequação, baseada na estratégia acima:
P(nenhum efeito em ‘n’ doses) ≥ 0,65
(0,9)^n ≥ 0,65
Agora, vamos testar os valores de ‘n’ propostos nas alternativas:
- Para n = 3 doses (Alternativa A):
(0,9)³ = 0,9 * 0,9 * 0,9 = 0,729
0,729 é maior que 0,65. Portanto, 3 doses é um número aceitável.
- Para n = 4 doses (Alternativa B):
(0,9)⁴ = 0,729 * 0,9 = 0,6561
0,6561 é maior que 0,65. Portanto, 4 doses também é um número aceitável.
- Para n = 5 doses (para verificar o limite):
(0,9)⁵ = 0,6561 * 0,9 = 0,59049
0,59049 é menor que 0,65. Portanto, 5 doses NÃO é um número aceitável.
- Para n = 6 doses (Alternativa C):
O resultado será ainda menor, portanto, também não é aceitável.
Conclusão do cálculo: O maior número de doses que satisfaz a condição é 4.
4.2 Verificação Intermediária
Vamos verificar o risco real para 4 doses:
P(pelo menos um efeito) = 1 – P(nenhum efeito)
P(pelo menos um efeito) = 1 – 0,6561 = 0,3439, ou 34,39%.
Este valor é menor que o limite de 35%, então está correto.
Para 5 doses, o risco seria:
P(pelo menos um efeito) = 1 – 0,59049 = 0,40951, ou 40,95%.
Este valor já ultrapassa o limite de 35%.
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha seria tentar calcular diretamente a probabilidade de “pelo menos um” efeito colateral. Isso envolveria somar as probabilidades de ter efeito em exatamente 1 dose, exatamente 2 doses, etc., o que é um cálculo muito mais longo e complexo. Usar a probabilidade complementar (1 – P(nenhum)) é o caminho mais inteligente e seguro.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo mostrou que o maior número de doses que mantém o risco dentro do limite aceitável é 4. Esperamos encontrar este valor em uma das alternativas.
🏆 Passo 5: Conclusão e Justificativa Final
5.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada ao se traduzir a condição de risco máximo em uma condição de probabilidade mínima de não ter efeitos colaterais. Modelamos a probabilidade de não ter efeitos em ‘n’ doses como (0,9)^n e testamos os valores para encontrar o maior ‘n’ que satisfizesse a inequação (0,9)^n ≥ 0,65.
5.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B, pois 4 doses é o maior número que mantém o risco dentro do limite aceitável pelo paciente.
5.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de probabilidade, quando a pergunta envolve “pelo menos um”, “algum” ou “no mínimo um”, lembre-se da estratégia do complementar: calcule a probabilidade do evento “nenhum” e subtraia o resultado de 1.
