Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília – DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4.
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135º graus no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF.
Considerando que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em
A) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba.
B) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador.
C) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho.
D) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro.
E) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana (Ângulos e Direções)
- Interpretação de Mapas e Enunciados
- Raciocínio Espacial
Tema/Objetivo Geral:
- Determinar as cidades de parada de uma viagem aérea, com base na interpretação de direções dadas por ângulos em um mapa.
Nível da Questão
- Médio – A questão é considerada de nível médio pois, apesar de não envolver cálculos complexos, exige uma forte capacidade de abstração e visualização espacial. O aluno precisa “desenhar” mentalmente as rotas a partir de uma linha de referência e de ângulos, o que pode ser confuso sem uma abordagem sistemática.
Gabarito
- B) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador. – Esta é a única alternativa que corresponde à rota descrita: o primeiro voo sai de Brasília na direção de Belo Horizonte (ângulo de 135° horário), e o segundo voo parte de Belo Horizonte na direção de Salvador (ângulo de 90° anti-horário em relação à rota anterior).
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
A parte crucial do enunciado é: “pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em… e em seguida embarcou para…”
1.2 O que está sendo pedido?
A questão pede para identificarmos duas cidades: a cidade onde Carlos fez a conexão (primeira parada) e a cidade que foi seu destino final (segunda parada).
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é traçar as duas rotas de voo no mapa, seguindo as instruções de ângulos e direções, para descobrir quais cidades estão no final dessas rotas.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que o segundo ângulo (90°) é medido a partir da rota do primeiro avião, e não mais da rota Brasília-Belém? Esse é um detalhe fundamental para não errar a direção do segundo voo.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Segmento de Reta Orientado (Vetor): Embora o termo não seja usado, é útil pensar nas rotas como setas. Elas têm um ponto de partida, uma direção e um sentido.
- Referência Angular: Para medir um ângulo, precisamos de uma linha de base. O problema nos dá uma: a rota Brasília (DF) – Belém (4). Essa é a nossa “linha do zero grau”.
- Sentido Horário e Anti-horário: São as duas direções para medir ângulos.
- Sentido Horário: Gira para a direita, como os ponteiros de um relógio.
- Sentido Anti-horário: Gira para a esquerda, o oposto dos ponteiros do relógio.
- Ângulo Raso: Um ângulo de 180°, que forma uma linha reta.
- Ângulo Reto: Um ângulo de 90°.
- Ângulo de 135°: É um ângulo obtuso, que pode ser visualizado como um ângulo reto (90°) mais um ângulo de 45° (metade de um ângulo reto).
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos pensar como um piloto de avião com um mapa e uma bússola.
- Primeiro Voo (AII): Estamos em Brasília (DF). A torre de controle nos dá uma linha de referência (a rota para Belém, nº 4). A instrução é: “gire 135° para a direita (sentido horário) a partir dessa referência e siga reto”. Onde vamos pousar?
- Segundo Voo (AIII): Pousamos na cidade da conexão. A nova instrução da torre é: “use a linha da rota que você acabou de fazer como referência. Agora, gire 90° para a esquerda (sentido anti-horário) e siga reto”. Onde será nosso destino final?
3.2 Estratégia Geral
- Identificar no mapa a rota de referência Brasília (DF) – Belém (4).
- A partir de Brasília, visualizar um giro de 135° no sentido horário e traçar uma linha para encontrar a primeira cidade (conexão).
- Usar essa nova rota (Brasília – Conexão) como referência. A partir da cidade de conexão, visualizar um giro de 90° no sentido anti-horário e traçar uma nova linha para encontrar o destino final.
- Identificar os números das cidades encontradas e comparar com as alternativas.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado (Análise Visual)
Este problema é de visualização, não de cálculo numérico.
1. Traçando a Primeira Rota (Voo AII):
- Referência: A linha reta que liga DF a Belém (4). É uma linha quase vertical, apontando para cima.
- Instrução: Girar 135° no sentido horário (para a direita) a partir dessa linha.
- Visualização: Um giro de 90° no sentido horário nos levaria para uma direção quase horizontal, para a direita. Mais 45° (135° = 90° + 45°) nos levaria para a diagonal inferior direita.
- Resultado: Traçando uma linha a partir de DF nessa direção (sudeste), vemos que ela passa diretamente sobre a cidade de número 13.
- Identificação: Na legenda, a cidade 13 é Belo Horizonte. Portanto, a conexão foi em Belo Horizonte.
2. Traçando a Segunda Rota (Voo AIII):
- Nova Referência: Agora, a nossa linha de base é a rota que acabamos de fazer: Brasília (DF) – Belo Horizonte (13).
- Ponto de Partida: O voo sai da cidade de conexão, ou seja, de Belo Horizonte (13).
- Instrução: Girar 90° no sentido anti-horário (para a esquerda) a partir da direção da rota anterior (DF -> BH).
- Visualização: A rota DF -> BH aponta para a diagonal inferior direita (sudeste). Se estamos em Belo Horizonte e giramos 90° para a esquerda, a nova direção apontará para a diagonal superior direita (nordeste).
- Resultado: Traçando uma linha a partir de Belo Horizonte (13) nessa direção (nordeste), vemos que ela passa diretamente sobre a cidade de número 9.
- Identificação: Na legenda, a cidade 9 é Salvador. Portanto, o destino final foi Salvador.
4.2 Verificação Intermediária
A rota completa encontrada foi: Brasília → Belo Horizonte → Salvador. Vamos verificar se essa combinação existe nas alternativas.
4.3 Possível armadilha
A armadilha mais comum seria usar a referência original (Brasília-Belém) para os dois voos. Se fizéssemos isso no segundo voo, um giro de 90° anti-horário a partir da rota para Belém nos levaria para a direção de Cuiabá (15) ou Campo Grande (16), resultando em erro. Outra confusão seria inverter o sentido horário com o anti-horário.
4.4 Fechamento e expectativa
Nossa análise visual nos levou à conclusão de que a conexão foi em Belo Horizonte e o destino final foi Salvador. Agora, vamos procurar essa opção nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
- A) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba.
- B) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador.
- C) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho.
- D) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro.
- E) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
5.2 Justificativa Individual
- 🔴 (A): A primeira parte está correta (Belo Horizonte), mas a segunda está errada. Curitiba (12) está ao sul de Belo Horizonte, o que não corresponde a um giro de 90° anti-horário.
- 🟢 (B): Correto. Corresponde exatamente à rota que traçamos: conexão em Belo Horizonte (13) e destino final em Salvador (9).
- 🔴 (C), (D), (E): Incorretas. A cidade de conexão não é Boa Vista (2) nem Goiânia (14). Goiânia está próxima de um ângulo de 180° em relação à rota de Belém, não 135°.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada ao se interpretar geometricamente as instruções de voo. Primeiro, determinamos a cidade de conexão traçando um ângulo de 135° no sentido horário a partir da rota de referência. Em seguida, usando a primeira rota como nova referência, determinamos o destino final traçando um ângulo de 90° no sentido anti-horário.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B, que descreve a viagem com conexão em Belo Horizonte e destino final em Salvador.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de navegação por ângulos, a chave é sempre identificar corretamente a linha de referência para cada etapa. A referência pode mudar ao longo do percurso, então leia o enunciado com atenção para saber a partir de qual linha você deve medir o próximo ângulo.
