Uma pista circular delimitada por duas circunferências concêntricas foi construída. Na circunferência interna dessa pista, de raio 0,3 km, serão colocados aparelhos de ginástica localizados nos pontos P, Q e R, conforme a figura.
O segmento RP é um diâmetro dessa circunferência interna, e o ângulo PRQ tem medida igual a π/5 radianos.
Para uma pessoa ir do ponto P ao ponto Q andando pela circunferência interna no sentido anti-horário, ela percorrerá uma distância, em quilômetro, igual a:
A) 0,009π
B) 0,03π
C) 0,06π
D) 0,12π
E) 0,18π
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria, Arco de circunferência, Ângulo em radianos
📝 Tema/Objetivo Geral: Calcular a medida de um arco circular a partir do ângulo e do raio, aplicando a fórmula do comprimento de arco com ângulo em radianos.
📊 Nível da Questão: Médio
🎯 Gabarito: D
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
O enunciado informa que uma pista circular foi construída com duas circunferências concêntricas, e que os pontos P, Q e R estão localizados sobre a circunferência interna da pista. Sabemos que o segmento RP é um diâmetro e que o ângulo ∠PRQ mede π/5 radianos.
O comando da questão pede a distância percorrida por uma pessoa que caminha de P até Q no sentido anti-horário pela borda da pista, ou seja, queremos o comprimento do arco de circunferência de P até Q.
📌 Palavras-chave:
circunferência,
ângulo em radianos,
distância,
arco.
Objetivo: Calcular o comprimento do arco PQ na circunferência de raio 0,3 km, com base no ângulo dado em radianos.
Agora que o comando foi analisado e o objetivo definido, vamos abordar os conceitos e conteúdos necessários.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
Quando temos um ângulo em radianos e queremos saber o comprimento de um arco, usamos a seguinte fórmula: ✔ Comprimento do arco = raio × ângulo (em radianos)
Isso vale diretamente quando o ângulo é central. Porém, na figura, o ângulo PRQ é inscrito, ou seja, ele está com o vértice na circunferência.
✔ Propriedade importante: o ângulo inscrito é sempre metade do ângulo central que subtende o mesmo arco.
Agora que os conceitos estão definidos, vamos interpretar o que a questão nos mostra.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
A figura mostra uma pista circular com três pontos (P, Q, R) marcados na circunferência interna. O segmento RP é um diâmetro, e o ângulo ∠PRQ = π/5. Como o vértice do ângulo está na borda, esse ângulo é inscrito.
Assim, o ângulo central correspondente ao arco PQ será: ✔ Ângulo central = 2 × (π/5) = 2π/5
Com isso, já podemos calcular a distância de P a Q ao longo da circunferência.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 A fórmula do comprimento de arco é: Comprimento do arco = raio × ângulo central
📌 O raio da circunferência é 0,3 km, e o ângulo central correspondente ao arco PQ é 2π/5.
Aplicando:
Comprimento do arco PQ = 0,3 × (2π/5)
Comprimento do arco PQ = 0,6π/5
Comprimento do arco PQ = 0,12π km
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
A) 0,009π ❌ Muito abaixo do valor calculado.
B) 0,03π ❌ Muito abaixo do valor correto.
C) 0,06π ❌ Metade do valor certo, erro comum de não dobrar o ângulo inscrito.
D) 0,12π ✅ Exatamente o comprimento do arco PQ.
E) 0,18π ❌ Maior do que o valor correto, excesso.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Para encontrar a distância do ponto P ao ponto Q, caminhando pela circunferência, usamos a fórmula do comprimento de arco, considerando que o ângulo dado era inscrito e, portanto, o dobro dele nos dá o ângulo central. O raio da circunferência é 0,3 km, e o ângulo central correspondente ao arco PQ é 2π/5 rad. Aplicando a fórmula, obtemos:
Comprimento do arco = 0,3 × 2π/5 = 0,12π km
🔍 Resumo Final: A distância percorrida de P até Q ao longo da circunferência é 0,12π km, sendo a resposta correta a alternativa D.
