Às 17 h 15 min começa uma forte chuva, que cai com intensidade constante. Uma piscina em forma de um paralelepípedo retângulo, que se encontrava inicialmente vazia, começa a acumular a água da chuva e, às 18 horas, o nível da água em seu interior alcança 20 cm de altura. Nesse instante, é aberto o registro que libera o escoamento da água por um ralo localizado no fundo dessa piscina, cuja vazão é constante. Às 18 h 40 min a chuva cessa e, nesse exato instante, o nível da água na piscina baixou para 15 cm.
O instante em que a água dessa piscina terminar de escoar completamente está compreendido entre
A) 19 h 30 min e 20 h 10 min.
B) 19 h 20 min e 19 h 30 min.
C) 19 h 10 min e 19 h 20 min.
D) 19 h e 19 h 10 min.
E) 18 h 40 min e 19 h.
Resolução em texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Análise de Taxas (entrada e saída), Regra de Três, Raciocínio Lógico.
📔 Nível da Questão: Médio.
✅ Gabarito: Alternativa D.
🎯 Tema/Objetivo Geral: Determinar o intervalo de tempo em que a piscina ficará completamente vazia, considerando o fluxo de entrada (chuva) e o fluxo de saída (escoamento).
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomar o Comando da Questão:
O enunciado descreve uma piscina que começa a ser preenchida pela chuva às 17h15min e atinge 20cm de altura às 18h. Nesse instante, abre-se o registro que escoa água por um ralo de vazão constante. Às 18h40min, a chuva para, e o nível da água cai para 15cm. A pergunta é em qual intervalo de tempo a piscina se esvaziará completamente.
📌 Explicação Detalhada:
- Entre 17h15min e 18h, somente a chuva enche a piscina.
- Entre 18h e 18h40min, a piscina continua recebendo chuva, mas também começa a perder água pelo ralo.
- Às 18h40min, a chuva cessa e apenas a vazão do ralo continua escoando a água.
- Precisamos calcular o momento exato em que a piscina chegará a 0cm, isto é, quando estará totalmente vazia.
📌 Identificação de Palavras-chave:
- “Intensidade constante da chuva” → Chuva com vazão de entrada fixa.
- “Vazão constante do ralo” → Taxa de saída fixa.
- “Horários específicos” → Cálculo de intervalos de tempo.
📌 Definição do Objetivo:
Encontrar o intervalo de tempo em que o nível da água atinge 0cm, ou seja, quando a piscina fica completamente vazia.
➡️ Agora que o comando foi analisado e o objetivo definido, vamos abordar os conceitos e conteúdos necessários.
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceito 1: Taxa de Variação (Inflow e Outflow)
Quando há um fluxo de entrada (chuva) e um fluxo de saída (ralo), o nível de água varia conforme a diferença entre as duas taxas.
📌 Conceito 2: Regra de Três
Para relacionar as variações de altura (em cm) com o tempo (em minutos), usamos regra de três simples para encontrar as taxas de entrada e de saída e, posteriormente, calcular o tempo necessário para a piscina esvaziar.
➡️ Com os conceitos bem estabelecidos, vamos agora interpretar o texto da questão.
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Análise do Contexto:
- 17h15min a 18h (45 minutos) → A piscina sai de 0cm para 20cm de altura apenas com a chuva.
- 18h a 18h40min (40 minutos) → A piscina recebe chuva e sofre escoamento simultâneo, resultando em 15cm (ou seja, uma perda de 5cm em relação aos 20cm anteriores).
- A partir de 18h40min → A chuva para, e somente o ralo continua a escoar a água.
📌 Identificação de Frases-chave:
- “Às 17h15min começa uma forte chuva”
- “Às 18h, o nível da água atinge 20cm”
- “Às 18h, é aberto o registro do ralo”
- “Às 18h40min, a chuva cessa e o nível está em 15cm”
📌 Tradução para Termos Matemáticos:
- Taxa de enchimento pela chuva: 20cm em 45min (entre 17h15min e 18h).
- Variação total (chuva + ralo) entre 18h e 18h40min: 15cm – 20cm = -5cm.
- Tempo sem chuva, apenas vazão: a partir de 18h40min até a piscina esvaziar.
➡️ Agora que interpretamos o texto, vamos desenvolver o raciocínio e realizar os cálculos necessários.
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Etapa 1: Calcular a taxa de enchimento da chuva
- Em 45 minutos, a piscina passa de 0cm para 20cm.
- Portanto, a chuva adiciona (20cm / 45min) = aproximadamente 0,44cm por minuto.
📌 Etapa 2: Verificar o que ocorre entre 18h e 18h40min
- Duração desse intervalo: 40 minutos.
- Em 40 minutos, sem considerar o ralo, a chuva acrescentaria 0,44 × 40 ≈ 17,78cm.
- Entretanto, o nível efetivo cai de 20cm para 15cm (queda de 5cm).
- Logo, o ralo deve ter escoado 17,78 + 5 = 22,78cm ao longo dos 40 minutos.
- Taxa de saída (ralo) ≈ 22,78 / 40 ≈ 0,57cm por minuto.
📌 Etapa 3: Tempo para esvaziar a piscina após 18h40min
- Às 18h40min, há 15cm de água, e não há mais chuva.
- Com vazão constante de 0,57cm por minuto, o tempo para escoar 15cm é 15 / 0,57 ≈ 26 minutos.
📌 Etapa 4: Horário final em que a piscina estará vazia
- Início do escoamento exclusivo: 18h40min.
- Adicionando 26 minutos: 18h40min + 26min ≈ 19h06min.
➡️ Com os cálculos realizados, vamos agora analisar as alternativas apresentadas.
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Reescrita das Alternativas:
A) 19 h 30 min e 20 h 10 min
B) 19 h 20 min e 19 h 30 min
C) 19 h 10 min e 19 h 20 min
D) 19 h e 19 h 10 min
E) 18 h 40 min e 19 h
✅ Justificativa da Alternativa Correta:
Pelo cálculo, a piscina ficará vazia por volta de 19h06min, o que se encontra entre 19h e 19h10min. Portanto, a resposta correta é a Alternativa D.
❌ Análise das Alternativas Incorretas:
- A) 19 h 30 min e 20 h 10 min → Muito além do tempo estimado.
- B) 19 h 20 min e 19 h 30 min → Excede o intervalo encontrado (19h06min).
- C) 19 h 10 min e 19 h 20 min → Intervalo também posterior ao cálculo.
- E) 18 h 40 min e 19 h → Antes do tempo calculado.
➡️ Finalmente, vamos concluir a resolução com um resumo e a justificativa final.
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
- Identificamos a taxa de enchimento da chuva (20cm em 45min).
- Verificamos o comportamento entre 18h e 18h40min (chuva + ralo), resultando em uma queda de 5cm.
- Determinamos a vazão do ralo ao relacionar o ganho teórico da chuva (17,78cm) com a queda real de 5cm, chegando a cerca de 22,78cm escoados no período.
- Calculamos o tempo necessário para escoar os 15cm restantes após 18h40min, concluindo que o nível zera em torno de 19h06min.
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
✅ A piscina esvazia-se entre 19h e 19h10min, correspondendo à Alternativa D.
🔍 Resumo Final:
O problema exigiu analisar duas taxas simultâneas (chuva e ralo) e, em seguida, considerar somente a vazão do ralo após a chuva cessar. Ao cruzar os dados de tempo e variação de altura, concluímos que o nível de água atinge 0cm por volta das 19h06min, o que confirma a opção D.
