O Ibope entrevistou 100 pessoas que assistiram à estreia da versão 2011 do Rock in Rio, no dia 23 de setembro de 2011, sendo que os entrevistados atribuíram uma nota de 0 (zero) a 10 (dez) para o dia da estreia do evento. A média das notas dos entrevistados foi 9,3 e 64 pessoas deram nota 10 ao evento no dia de estreia.
Desta forma, a melhor aproximação para a média das demais notas (diferentes de 10) do dia de estreia foi
A) 8,05.
B) 8,60.
C) 9,30.
D) 9,65.
E) 9,75.
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Estatística Básica (Média Aritmética Ponderada), Álgebra, Interpretação de Texto.
- Tema/Objetivo Geral: Desconstrução de uma média geral para calcular a média de um subconjunto dos dados.
- Nível da Questão: Médio. Embora os cálculos sejam simples, o raciocínio não é direto. Exige a compreensão de que uma média é uma relação entre uma soma total e um número de elementos, e a habilidade de manipular essa relação para inferir informações sobre uma parte do conjunto de dados.
- Gabarito: A) 8,05. A soma total de todas as notas foi 930. Removendo a soma das 64 notas 10 (640), a soma das 36 notas restantes é 290. A média desse grupo é 290 dividido por 36, que é aproximadamente 8,05.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir qual foi a nota média apenas do grupo de pessoas que não deu nota 10 para o evento.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine uma sala de aula com 100 alunos. O professor anuncia que a média da turma toda em uma prova foi 9,3. Ele também revela um segredo: 64 alunos gabaritaram, tirando nota 10. O verdadeiro desafio aqui é atuar como um detetive e, com essas duas pistas, calcular qual foi a média apenas do “resto da turma”, ou seja, dos 36 alunos que não gabaritaram.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): O plano para solucionar este caso será o seguinte:
- Calcular a Soma Total: Descobrir a soma de todas as 100 notas dadas.
- Calcular a Soma do “Grupo dos 10”: Determinar quanto as 64 pessoas que deram nota 10 contribuíram para a soma total.
- Isolar a Soma do “Resto da Turma”: Subtrair a soma do “Grupo dos 10” da soma total para encontrar a soma das notas do grupo que queremos analisar.
- Calcular a Média do “Resto da Turma”: Dividir a soma encontrada no passo 3 pelo número de pessoas nesse grupo.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
A ferramenta principal é a fórmula da média, mas usada de forma “reversa”.
🕵️♂️ Dossiê da Média Reversa 🕵️♂️
- Fórmula Padrão da Média: Média = (Soma de todos os valores) / (Número de elementos)
- A Chave da Investigação (Fórmula Reversa): Se conhecemos a média e o número de elementos, podemos descobrir a soma total.
- Soma de todos os valores = Média × Número de elementos
- Dados do Problema:
- Número Total de Pessoas: 100
- Média Geral: 9,3
- “Grupo dos 10”: 64 pessoas
- “Resto da Turma”: 100 – 64 = 36 pessoas
Este dossiê mostra que nosso primeiro passo investigativo deve ser usar a “Fórmula Reversa” para descobrir a soma de todas as 100 notas.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Executando o plano de ataque com os dados e ferramentas corretas.
- Calcular a Soma Total das Notas:
- Soma Total = Média Geral × Número Total de Pessoas
- Soma Total = 9,3 × 100 = 930.
- (Este é o total de “pontos” distribuídos por todos os 100 entrevistados).
- Calcular a Soma das Notas do “Grupo dos 10”:
- Soma do Grupo 10 = Nota × Número de Pessoas
- Soma do Grupo 10 = 10 × 64 = 640.
- Isolar a Soma das Notas do “Resto da Turma”:
- Soma do Resto = Soma Total – Soma do Grupo 10
- Soma do Resto = 930 – 640 = 290.
- Calcular a Média do “Resto da Turma”:
- Número de pessoas no “Resto da Turma”: 100 – 64 = 36.
- Média do Resto = (Soma do Resto) / (Número de pessoas no Resto)
- Média do Resto = 290 / 36 ≈ 8,055…
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha aqui é puramente conceitual. O estudante que não sabe como “desmontar” uma média pode ficar paralisado, pensando: “Como vou calcular a média se eu não sei quais foram as outras notas? Pode ter sido 9, 8, 7…”. Esse raciocínio falho foca no detalhe individual (cada nota) e perde de vista o poder do total. A defesa é sempre lembrar que para calcular uma média, não precisamos saber os valores individuais, apenas a soma desses valores e a quantidade de elementos.
- A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A soma total das notas foi 930. A soma das notas do subgrupo que não deu 10 foi 290. Dividindo 290 pela quantidade de pessoas nesse subgrupo (36), a média resultante é de aproximadamente 8,05.
- Expectativa: A alternativa correta deve ser a melhor aproximação para 8,05.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 8,05.
- Análise de Correspondência: Corresponde perfeitamente à “Expectativa” e ao resultado do nosso cálculo de engenharia reversa da média.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
B) 8,60.
- A Narrativa do Erro: Um erro de cálculo, provavelmente na subtração (930 – 640) ou na divisão final (290 / 36).
- Diagnóstico do Erro: Erro de Cálculo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 9,30.
- A Narrativa do Erro: O estudante simplesmente repete a média geral, sem entender o que foi pedido.
- Diagnóstico do Erro: Fuga ao Tema (não responde à pergunta específica).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 9,65 e E) 9,75.
- A Narrativa do Erro: É matematicamente impossível. Se um subgrupo (as 64 pessoas) teve média 10 (acima da média geral de 9,3), o outro subgrupo (as 36 pessoas) obrigatoriamente tem que ter uma média abaixo da média geral para “puxar” o total para 9,3. Qualquer resposta acima de 9,3 está conceitualmente errada.
- Diagnóstico do Erro: Contradição Lógica com o Conceito de Média.
- Conclusão: ❌ Alternativas incorretas.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirma-se que a resposta correta é a (A). A lição é que a média é uma porta de duas vias: com as partes, acha-se o todo (a média geral); com o todo e uma parte, pode-se isolar e analisar a outra parte.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Para achar a média do resto, pegue a soma de todos e arranque a soma dos conhecidos.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de “engenharia reversa da média” é fundamental em Física, no cálculo do centro de massa. O centro de massa de um sistema de partículas é uma média ponderada de suas posições. Se um físico conhece o centro de massa do sistema inteiro e a posição de uma das partículas, ele pode usar exatamente a mesma lógica da questão (soma total menos a parte conhecida) para inferir informações sobre a posição ou a massa do resto do sistema.
