A quantidade de certa espécie de crustáceos, medida em toneladas, presente num trecho de mangue, foi modelada pela equação
onde t representa o número de meses transcorridos após o início de estudo e w é uma constante.
O máximo e o mínimo de toneladas observados durante este estudo são, respectivamente,
A) 600 e 100
B) 600 e 150
C) 300 e 100
D) 300 e 60
E) 100 e 60
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Análise de Funções (Valores Máximos e Mínimos), Trigonometria (Propriedades da Função Seno).
- Tema/Objetivo Geral: Encontrar os valores máximo e mínimo (a imagem) de uma função racional cujo denominador contém uma função trigonométrica.
- Nível da Questão: Médio. A questão não exige cálculos complexos, mas seu núcleo depende de um conhecimento específico: o intervalo de valores que a função seno pode assumir. Sem essa informação, o problema parece impossível; com ela, torna-se um exercício de substituição direta.
- Gabarito: D) 300 e 60. O valor da função Q(t) depende inteiramente de seu denominador. Como a função seno varia apenas entre -1 e +1, o denominador assume um valor mínimo e um máximo, o que, por sua vez, gera um valor máximo e um mínimo para Q(t).
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir qual a maior e a menor quantidade de toneladas de crustáceos que podem existir no mangue, de acordo com a fórmula matemática fornecida.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense na fórmula como uma máquina de dividir pão. A máquina tem sempre 600 pães (o numerador). O denominador (6 + 4sen(wt)) representa o número de cestas em que os pães serão divididos. O “sen(wt)” é uma peça que faz o número de cestas variar. O verdadeiro desafio aqui é: para ter a maior quantidade de pães por cesta (Q(t) máximo), precisamos do menor número de cestas possível (denominador mínimo). Para ter a menor quantidade de pães por cesta (Q(t) mínimo), precisamos do maior número de cestas (denominador máximo).
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): O plano para solucionar este caso será o seguinte:
- Isolar o Coração do Problema: Identificar que a única parte que muda na fórmula é o sen(wt).
- Desvendar o Segredo do Seno: Entender quais são os valores máximo e mínimo que sen(wt) pode assumir.
- Calcular os Extremos do Denominador: Usar os valores máximo e mínimo do seno para encontrar o maior e o menor valor possível para o denominador inteiro.
- Calcular os Extremos da População: Usar os valores do denominador para encontrar a população máxima e mínima de crustáceos.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, não é preciso saber trigonometria a fundo. É preciso apenas de um dossiê sobre o comportamento da peça-chave: a função seno.
🕵️♂️ Dossiê do Seno: O Coração da Montanha-Russa 🕵️♂️
- Identidade: Função Seno, representada por sen(…).
- Comportamento: Imagine uma montanha-russa que sobe e desce, de novo e de novo. A função seno descreve exatamente esse movimento oscilatório.
- A REGRA DE OURO (A Chave que Resolve a Questão): Não importa o que esteja dentro dos parênteses (wt, x, 2t+50, etc.), o resultado de sen(…) SEMPRE estará preso em um intervalo fixo. Ele nunca pode ser menor que -1 e nunca pode ser maior que +1.
- Ponto Mais Baixo (O Vale da Montanha-Russa): O valor mínimo que sen(wt) pode assumir é -1.
- Ponto Mais Alto (O Pico da Montanha-Russa): O valor máximo que sen(wt) pode assumir é +1.
Com esta única informação, todo o mistério da questão é resolvido.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Executando o plano de ataque com a nossa “Regra de Ouro”.
- Cenário 1: Encontrar a População MÁXIMA de Crustáceos (Q máx)
- Para Q ser máximo, o denominador 6 + 4sen(wt) precisa ser mínimo.
- Para o denominador ser mínimo, sen(wt) precisa assumir seu valor mínimo, que é -1.
- Cálculo do Denominador Mínimo: 6 + 4 * (-1) = 6 – 4 = 2.
- Cálculo de Q Máximo: Q = 600 / 2 = 300.
- Cenário 2: Encontrar a População MÍNIMA de Crustáceos (Q mín)
- Para Q ser mínimo, o denominador 6 + 4sen(wt) precisa ser máximo.
- Para o denominador ser máximo, sen(wt) precisa assumir seu valor máximo, que é +1.
- Cálculo do Denominador Máximo: 6 + 4 * (+1) = 6 + 4 = 10.
- Cálculo de Q Mínimo: Q = 600 / 10 = 60.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais sedutora é a intuição invertida. É natural pensar: “para o MÁXIMO da função, eu uso o MÁXIMO do seno”. Mas como o seno está no denominador, a lógica se inverte! Para o máximo da fração, use o mínimo do seno, e para o mínimo da fração, use o máximo do seno. É o princípio da gangorra: quando um lado sobe, o outro desce.
- A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O valor máximo da população é 300 toneladas (quando sen(wt) = -1) e o valor mínimo é 60 toneladas (quando sen(wt) = 1).
- Expectativa: A alternativa correta deve apresentar, respectivamente, os valores 300 e 60.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 600 e 100 e B) 600 e 150
- A Narrativa do Erro: O estudante pode se confundir e achar que 600 (o numerador) é um dos valores extremos da função.
- Diagnóstico do Erro: Fuga ao Tema / Confusão Conceitual.
- Conclusão: ❌ Alternativas incorretas.
C) 300 e 100
- A Narrativa do Erro: O estudante acerta o cálculo do máximo (300), mas erra o do mínimo. Provavelmente um erro de cálculo no denominador (ex: 6 + 4 = 6, resultando em 600/6 = 100).
- Diagnóstico do Erro: Erro de Cálculo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 300 e 60
- Análise de Correspondência: Esta alternativa corresponde perfeitamente à “Expectativa”, com os valores máximo e mínimo calculados corretamente e na ordem pedida.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
E) 100 e 60
- A Narrativa do Erro: O estudante acerta o cálculo do mínimo (60), mas erra o do máximo.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Cálculo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirma-se que a resposta correta é a (D). A lição é que funções que parecem complexas muitas vezes dependem de uma única regra fundamental, e a chave para resolvê-las é identificar e aplicar essa regra.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Para achar os extremos de uma fração com seno, plugue +1 e -1 no seno do denominador e veja a mágica acontecer.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de oscilação governado por uma função seno ou cosseno é a base da Engenharia Elétrica e da corrente alternada (AC) que chega às tomadas. A voltagem da rede elétrica não é constante; ela oscila entre um valor máximo positivo (ex: +170V no Brasil para uma rede 120V RMS) e um mínimo negativo (-170V), seguindo uma curva senoidal. Entender como encontrar os picos e vales da função dos crustáceos é, conceitualmente, o mesmo que entender como a eletricidade que alimenta todos os nossos aparelhos funciona.
