Um técnico precisa consertar o termostato do aparelho de ar-condicionado de um escritório, que está desregulado. A temperatura T, em graus Celsius, no escritório, varia de acordo com a função
sendo h o tempo, medido em horas, a partir da meia-noite (0 ≤ h < 24) e A e B os parâmetros que o técnico precisa regular.
Os funcionários do escritório pediram que a temperatura máxima fosse 26°C, a mínima 18°C, e que durante a tarde a temperatura fosse menor do que durante a manhã. Quais devem ser os valores de A e de B para que o pedido dos funcionários seja atendido?
A) A = 18 e B = 8
B) A = 22 e B = -4
C) A = 22 e B = 4
D) A = 26 e B = -8
E) A = 26 e B = 8
Resolução em Texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Análise de função seno com parâmetros A (média) e B (amplitude)
- Interpretação gráfica da função senoidal
- Sistema de equações
- Análise de sinal de coeficiente para inverter a concavidade da onda
📔 Nível da Questão:
Avançado, porque exige domínio de funções periódicas e interpretação contextual (relação entre temperatura, comportamento da função e horas do dia)
✅ Gabarito:
- Letra B
🎯 Tema/Objetivo Geral:
- Função Trigonométrica (Seno) com aplicação em fenômenos periódicos
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1️⃣ Comando Essencial:
“…Quais devem ser os valores de A e B para que o pedido dos funcionários seja atendido?”
2️⃣ O que está sendo pedido?
Encontrar os valores de A e B que regulam a função de temperatura, de modo que ela varie entre 26°C e 18°C, com a temperatura da tarde menor que a da manhã.
3️⃣ Objetivo Cristalino:
Ajustar a função senoidal para que:
- Tmáx = 26
- Tmín = 18
- A função diminua após a meia-noite até o meio-dia e aumente depois
4️⃣ Dica Geral:
A função fornecida é do tipo:
T(h) = A + B·sen[(π/12)(h – 12)]
O seno é máximo (=1) às 18h, mínimo (=–1) às 6h. O valor de A é a temperatura média, e B é a amplitude.
5️⃣ ✔ Pergunta de Atenção:
Você sabe como o valor de B influencia a direção da curva senoidal? E como a média (A) e amplitude (B) definem os extremos da função?
6️⃣ 💬 Dúvida Comum:
Muitos alunos esquecem que a tarde só será mais fria que a manhã se B for negativo, invertendo o gráfico.
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
🔹1. Forma geral da função seno:
T(h) = A + B·sen[(π/12)(h – 12)]
- A = valor médio da função (ponto médio entre máximo e mínimo)
- B = amplitude → distância do valor médio até o extremo
- A função seno varia entre –1 e 1
Logo:
- Máximo da função: A + B
- Mínimo da função: A – B
🔹2. Interpretação contextual
A função é centrada em h = 12, ou seja, meio-dia.
O seno é 0 às 12h, +1 às 18h, –1 às 6h.
Se B > 0, a função cresce até 18h → tarde mais quente.
Se B < 0, a função decresce até 18h → tarde mais fria → ✅ o que queremos.
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação de Texto
Tmáx = 26 → ocorre quando seno = +1
→ A + B = 26
Tmín = 18 → ocorre quando seno = –1
→ A – B = 18
Precisamos inverter a função para que a tarde seja mais fria → B deve ser negativo
🔷 Passo 4: Desenvolvimento de Raciocínio
Vamos resolver o sistema:
- 1) A + B = 26
- 2) A – B = 18
Somando as equações:
(A + B) + (A – B) = 26 + 18
2A = 44
A = 22
Substituindo em (1):
22 + B = 26
B = 4
Mas queremos que a temperatura diminua ao longo da manhã (tarde mais fria que manhã) →
✔ Inverter a função → B = –4
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas
A) A = 18, B = 8 → A + B = 26, mas A – B = 10 → ❌
B) A = 22, B = –4 →
✔ A + B = 18
✔ A – B = 26
✔ Tarde mais fria que manhã → ✅ Correta
C) A = 22, B = 4 → Tarde mais quente que manhã → ❌
D) A = 26, B = –8 → A + B = 18 → ❌
E) A = 26, B = 8 → A + B = 34 → ❌
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Para que a temperatura varie entre 26°C (máxima) e 18°C (mínima), com a tarde mais fria que a manhã, os parâmetros devem ser:
- A = 22 (média)
- B = –4 (amplitude negativa para inverter a curva)
✅ Gabarito: Letra B
