Na planta baixa de uma casa, um quarto retangular, cuja área é de 24 m², está representado por um retângulo com lados medindo 0,10 m e 0,15 m. A escala dessa planta é
A) 1 : 24.
B) 1 : 40.
C) 1 : 60.
D) 1 : 1600.
E) 1 : 16000.
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✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Geometria Plana (Cálculo de Áreas), Razão e Proporção (Escalas) e Aritmética (Operações com decimais).
Tema/Objetivo Geral:
Compreensão da relação entre Escala Linear (comprimento) e Escala de Área (superfície).
Nível da Questão:
Médio.
Gabarito:
Alternativa B.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
A questão nos dá as medidas do desenho (planta) e a área real do quarto. Ela pede a Escala Linear da planta.
Simplificando, queremos saber: “Quantas vezes o desenho foi reduzido para caber no papel?”.
Simplificação Radical (A Analogia Central): 🔍
Imagine uma foto de uma televisão.
Se você mede a largura da TV na foto e a largura na vida real, você tem a Escala Linear.
Mas se você compara o tamanho da tela inteira (área) da foto com a área real, a relação muda.
A questão nos deu a área (tela inteira) e pede a medida da régua (linear). Precisamos fazer o caminho de volta.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Calcular a Área do Desenho (multiplicando os lados dados).
- Comparar a Área do Desenho com a Área Real para achar a Escala de Área.
- Tirar a Raiz Quadrada da Escala de Área para descobrir a Escala Linear (a resposta final).
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver isso, precisamos de uma regra de ouro da geometria que conecta dimensões.
A Regra das Dimensões:
- Comprimento (1D): Medido em metros (m). A escala é k.
- Área (2D): Medida em metros quadrados (m²). A escala é k ao quadrado (k²).
Fluxograma de Raciocínio:
- Calcular Área do Retângulo (Desenho) = Lado x Lado.
- Razão das Áreas = Área Desenho dividido por Área Real.
- Escala Linear = Raiz Quadrada da Razão das Áreas.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar o plano.
1. Calcular a Área do Desenho:
Os lados são 0,10 m e 0,15 m.
Multiplicando: 0,10 x 0,15 = 0,015 m².
Agora temos maçãs com maçãs: Área do Desenho (0,015 m²) e Área Real (24 m²).
2. Encontrar a Razão das Áreas:
Vamos dividir o desenho pelo real.
Razão = 0,015 dividido por 24.
Truque Matemático para sumir com a vírgula:
Multiplique em cima e embaixo por 1.000.
Razão = 15 dividido por 24.000.
Vamos simplificar a fração (dividir tudo por 15):
- 15 dividido por 15 = 1
- 24.000 dividido por 15 = 1.600
Resultado Intermediário: A escala de ÁREA é 1 : 1.600.
Isso significa que a área real é 1.600 vezes maior que a área do desenho.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Muitos alunos param aqui e marcam a alternativa (D). CUIDADO! Você achou a relação das áreas (m²). A escala de um mapa é sempre linear (metros).
Para voltar de Área para Linear, você precisa tirar a RAIZ QUADRADA.
3. Encontrar a Escala Linear:
Escala Linear = Raiz Quadrada de (1 sobre 1.600).
Raiz de 1 = 1.
Raiz de 1.600 = 40 (pois 40 x 40 = 1.600).
Resultado Final: A escala é 1 : 40.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 1 : 24.
- Diagnóstico do Erro: Associação Direta sem Lógica. O aluno pega o número “24” do enunciado e acha que ele é a escala, ignorando as medidas do desenho.
- B) 1 : 40.
- Análise: 🟢 Correto. Calculou-se a razão das áreas (1/1600) e extraiu-se a raiz quadrada para encontrar a razão linear.
- C) 1 : 60.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Simplificação. Pode ocorrer ao tentar dividir 24.000 por 15 e errar a conta.
- D) 1 : 1600.
- Diagnóstico do Erro: A Armadilha da Dimensão. O aluno calcula corretamente a proporção entre as áreas, mas esquece de converter para escala linear. Ele entrega a resposta em área quando a pergunta é em régua.
- E) 1 : 16000.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Vírgula. Ao transformar 0,015 ou fazer a divisão, o aluno errou a quantidade de zeros (casas decimais).
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A Escala é a rainha das dimensões: se você está comparando comprimentos, use a escala simples (k); se está comparando áreas, use a escala ao quadrado (k²); se for volumes, use a escala ao cubo (k³).
Resumo-flash: 🧠
“Área é lado vezes lado. Para voltar da Área para o Lado, use a Raiz Quadrada.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Isso se aplica à Biologia e Engenharia (Lei do Quadrado-Cubo). Por que não existem formigas gigantes do tamanho de elefantes? Porque se você aumentasse uma formiga 100 vezes (escala linear), o peso dela aumentaria 1.000.000 de vezes (volume/cubo), mas a força das pernas só aumentaria 10.000 vezes (área). As pernas quebrariam! Escala define a física da vida.
