Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:
A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas.
O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas
A) (65 ; 35).
B) (53 ; 30).
C) (45 ; 35).
D) (50 ; 20).
E) (50 ; 30).
🧠 Tema Geral: Geometria Analítica – Ponto Equidistante de Três Pontos
📚 Matérias Necessárias:
- Geometria Analítica (coordenadas no plano cartesiano)
- Mediatriz de segmentos
- Distância entre pontos
📈 Nível da Questão:
Médio, pois exige raciocínio espacial com mediatrizes e comparação de distâncias, sem envolvimento com fórmulas complexas.
✔️ GABARITO: Alternativa E
1️⃣ ATO 1 – O que o engenheiro da emissora quer dizer com essa palavra difícil “equidistante”?
Nesta questão, fomos contratados como os engenheiros chefes de uma emissora de TV. Nossa missão é escolher o terreno perfeito para construir uma torre de transmissão digital que envie sinal para três cidades diferentes (A, B e C). A palavra mágica do texto é “equidistante”. Isso significa que a antena não pode privilegiar ninguém: a distância da torre até a cidade A tem que ser a mesma até a cidade B, que por sua vez tem que ser igualzinha à distância até a cidade C. Nenhuma cidade pode ficar com o sinal fraco!
Não entendeu como achar esse “ponto de paz”? Fica tranquilo — acompanha comigo essa analogia:
Imagina que você e dois amigos (A, B e C) estão num quarto gigante e vazio, e vocês têm apenas um roteador de Wi-Fi. Se você colocar o roteador muito perto do amigo C, o celular do amigo A vai ficar sem sinal e o jogo vai travar. Existe um único “ponto doce” no piso desse quarto onde as ondas de internet viajam a mesmíssima distância para chegar nos três celulares ao mesmo tempo. É esse ponto exato que o plano cartesiano está escondendo da gente!
Qual é o nosso radar aqui?
Estamos pisando no terreno da Geometria Analítica, brincando de esconde-esconde no Plano Cartesiano e usando a velha magia da Distância Entre Dois Pontos. O segredo aqui não é decorar uma fórmula gigante, é usar a malícia visual para cortar caminho. Vamos ao plano de ataque!
2️⃣ ATO 2 – Como a gente lê as pistas que o mapa deixou de presente para nós?
O aluno desesperado olha para esse mapa e já quer montar um sistema de equações monstro envolvendo as três cidades ao mesmo tempo. Esqueça isso. Puxe sua lupa de detetive e olhe para o desenho com calma.
A Narrativa do “Caminho Curto”: Você reparou que as cidades A e B estão perfeitamente alinhadas na mesma rua horizontal? Ambas moram no “andar” 20 (o eixo Y delas é 20). Isso é um presente dos céus! Se a torre tem que estar à mesma distância de A e de B, a lógica manda que ela fique exatamente no meio do caminho entre elas. Pense numa corda esticada entre A e B: a nossa torre obrigatoriamente tem que estar na linha vertical que corta essa corda bem no meio.
Raio-X dos Dados:
Vamos tirar as coordenadas (x , y) do desenho:
- Cidade A: (30 , 20)
- Cidade B: (70 , 20)
- Cidade C: (60 , 50)
- A nossa Torre T será o ponto desconhecido: (X , Y).
3️⃣ ATO 3 – Mão na massa: vamos encurralar a localização dessa torre?
O Fio da Meada é usar aquele presente que o desenho nos deu. Vamos resolver isso em duas etapas simples.
Passo 1: Descobrindo o X da torre (A linha do meio)
A cidade A está na marca 30 do eixo X. A cidade B está na marca 70.
Qual é o exato meio do caminho entre 30 e 70?
Basta somar os dois e dividir por 2 (fazer a média):
(30 + 70) / 2 = 100 / 2 = 50.
Pronto! Sem fazer força, nós já sabemos que a coordenada X da nossa torre é 50. O nosso ponto misterioso tem o formato T = (50 , Y).
Passo 2: Descobrindo o Y da torre (O equilíbrio com a cidade C)
Agora que cravamos a posição horizontal (X = 50), precisamos descobrir a altura (Y). Para isso, a distância da Torre até a cidade A precisa empatar com a distância da Torre até a cidade C (a “diferentona” que mora mais no alto).
Vamos usar o esqueleto básico de Pitágoras para igualar os caminhos.
Caminho Torre até A (50, Y até 30, 20):
A distância na horizontal é a diferença dos X: 50 – 30 = 20.
A distância na vertical é a diferença dos Y: (Y – 20).
Elevando ao quadrado: 20² + (Y – 20)²
Caminho Torre até C (50, Y até 60, 50):
A diferença dos X: 50 – 60 = -10 (que ao quadrado vira 100 positivo).
A diferença dos Y: (Y – 50).
Elevando ao quadrado: (-10)² + (Y – 50)²
Colocando tudo na balança (igualando):
20² + (Y – 20)² = (-10)² + (Y – 50)²
Vamos resolver os parênteses (lembra da regrinha? quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais quadrado do segundo):
400 + Y² – 40Y + 400 = 100 + Y² – 100Y + 2500
A magia da álgebra: corta o Y² de um lado com o Y² do outro (eles se anulam!). Fica muito mais limpo:
800 – 40Y = 2600 – 100Y
Vamos colocar letra de um lado e número do outro. O 100Y negativo passa para cá somando, e o 800 passa para lá subtraindo:
100Y – 40Y = 2600 – 800
60Y = 1800
Y = 1800 / 60
Corta os zeros: 180 / 6
Y = 30!
Achamos! A nossa torre perfeita fica nas coordenadas X = 50 e Y = 30.
🚨 AVISO DE PERIGO (A Armadilha do Olho Gordo) 🚨
Sabe qual é o maior perigo nessa questão? É o aluno tentar resolver no “olhômetro”. O triângulo formado por A, B e C é torto. Muita gente confunde o ponto equidistante (Circuncentro) com o centro de gravidade do triângulo (Baricentro) e tenta tirar a média dos três números: somar o Y de todo mundo (20 + 20 + 50 = 90) e dividir por 3, achando Y = 30. Nessa questão específica, por um milagre dos números escolhidos pela banca, a média dos X não bateria, mas a vontade de “adivinhar” o meio visualmente destrói candidatos! Confie na álgebra, ela não te trai.
4️⃣ ATO 4 – Vamos colocar as alternativas sob a lupa lógica?
O nosso cálculo preciso nos deu o ponto T (50 ; 30). Vamos conferir o menu de opções:
A) (65 ; 35)
🔴 Anatomia do Erro: O aluno errou grosseiramente o X. Provavelmente tentou tirar uma média apenas entre os pontos B (70) e C (60) e se esqueceu do A.
B) (53 ; 30)
🔴 Anatomia do Erro: O famoso erro do Baricentro que eu alertei no Aviso de Perigo! O aluno somou todos os X (30 + 70 + 60 = 160) e dividiu por 3, achando aproximadamente 53. Esse é o ponto de equilíbrio de massa do triângulo, não o ponto equidistante!
C) (45 ; 35)
🔴 Anatomia do Erro: O aluno chutou um ponto totalmente aleatório para a esquerda, tentando aproximar a antena da cidade A e compensar a altura de C. Lógica visual furada.
D) (50 ; 20)
🔴 Anatomia do Erro: A armadilha da preguiça. O aluno acertou a nossa primeira conta (X = 50), mas não quis calcular o Y. Ele olhou para o eixo e deixou a torre em cima da linha imaginária entre A e B (no andar 20). O problema? Ela ficou incrivelmente longe da cidade C. O sinal para C chegaria péssimo!
E) (50 ; 30)
🟢 O Confronto: Nosso gabarito intocável! Você usou a inteligência de ver que A e B estavam alinhados para matar a primeira coordenada (X=50) em cinco segundos, e usou a álgebra para descobrir o andar exato (Y=30) onde o sinal não perde qualidade para ninguém.
5️⃣ ATO 5 – Qual é a grande sacada para você levar para a prova?
A Chave do Mistério: “No plano cartesiano, sempre busque por pontos alinhados horizontalmente ou verticalmente. Eles são um ‘hack’ que resolve metade da questão sem que você precise escrever uma linha de conta sequer.”
🧠 A Ponte para o Futuro: Onde isso vive na vida real? Olhe para o seu celular agora mesmo. Toda vez que você abre o Waze ou o Google Maps, o satélite GPS no espaço está fazendo rigorosamente essa conta. Ele não sabe onde você está; ele apenas mede a distância do seu celular até 3 ou 4 satélites diferentes e cruza essas informações no plano cartesiano para descobrir o único ponto “equidistante” que faz sentido. Você acabou de calcular o coração do sistema de navegação do planeta!
