Uma indústria faz uma parceria com uma distribuidora de sucos para lançar no mercado dois tipos de embalagens. Para a fabricação dessas embalagens, a indústria dispõe de folhas de alumínio retangulares, de dimensões 10 cm por 20 cm. Cada uma dessas folhas é utilizada para formar a superfície lateral da embalagem, em formato de cilindro circular reto, que posteriormente recebe fundo e tampa circulares. A figura ilustra, dependendo de qual das duas extensões será utilizada como altura, as duas opções para formar a possível embalagem.
Dentre essas duas embalagens, a de maior capacidade apresentará volume, em centímetro cúbico, igual a
A) 4000π
B) 2000π
C) 4000/π
D) 1000/π
E) 500/π
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria Espacial (Cilindros: Elementos e Volume)
- Geometria Plana (Comprimento da Circunferência)
- Álgebra Básica (Manipulação de fórmulas)
- Tema/Objetivo Geral: Comparar o volume de dois cilindros formados a partir da mesma folha retangular, variando qual lado se torna a altura e qual se torna a circunferência da base.
- Nível da Questão: Médio.
- Requer abstração espacial para entender como o retângulo vira cilindro e habilidade algébrica para trabalhar com “pi” no denominador, sem substituí-lo por números (3 ou 3,14).
- Gabarito: D
- A alternativa está correta. Ao enrolar o lado maior (20 cm) como circunferência, obtemos o maior volume, que resulta em 1000/pi cm³.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: “Temos uma folha de papel de 10 por 20. Podemos enrolá-la de dois jeitos: fazendo um tubo comprido e fino (altura 20) ou um tubo curto e gordo (altura 10). Qual dos dois tubos cabe mais água dentro e qual é esse valor?”
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que a área lateral (o papel) é o orçamento para construir uma casa.
- Opção 1: Uma torre alta com base pequena.
- Opção 2: Uma casa baixinha com base enorme.
A questão é: Em qual das duas cabe mais mobília (volume)? Na geometria, a base “gorda” (raio maior) sempre ganha da altura, porque o raio é elevado ao quadrado na fórmula do volume.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Analisar o Cenário 1 (Tubo Fino): A altura será 20 cm e a circunferência será 10 cm. Calcular o raio e o volume.
- Analisar o Cenário 2 (Tubo Gordo): A altura será 10 cm e a circunferência será 20 cm. Calcular o raio e o volume.
- Comparar e Vencer: Ver qual valor é maior e assinalar a resposta.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver este caso, precisamos conectar a folha plana ao sólido 3D.
DOSSIÊ: DO RETÂNGULO AO CILINDRO
1. A Transformação:
Quando enrolamos o papel, um lado vira a Altura (h) e o outro lado vira o Comprimento da Circunferência (C) da base.
2. O Raio (A chave do cofre):
A fórmula da circunferência é: C = 2 . pi . R.
Precisamos isolar o raio (R) para calcular o volume.
R = C / (2 . pi)
3. O Volume:
A fórmula é: V = pi . R² . h
O segredo matemático aqui é que o Raio (R) é elevado ao quadrado. Por isso, aumentar o Raio tem muito mais impacto no volume final do que aumentar a Altura.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos calcular os dois casos.
CASO A: Embalagem 1 (O Tubo Fino e Alto)
- Olhando a figura 1, a altura (h) é o lado maior.
- h = 20 cm
- C (Circunferência) = 10 cm
- Achando o Raio:
2 . pi . R = 10
R = 10 / (2 . pi) -> Simplificando: R = 5 / pi - Calculando o Volume:
V = pi . (5 / pi)² . 20
V = pi . (25 / pi²) . 20
V = (500 . pi) / pi²
Cortando um pi de cima com um de baixo:
V1 = 500 / pi
CASO B: Embalagem 2 (O Tubo Baixo e Gordo)
- Olhando a figura 2, a altura (h) é o lado menor.
- h = 10 cm
- C (Circunferência) = 20 cm
- Achando o Raio:
2 . pi . R = 20
R = 20 / (2 . pi) -> Simplificando: R = 10 / pi - Calculando o Volume:
V = pi . (10 / pi)² . 10
V = pi . (100 / pi²) . 10
V = (1000 . pi) / pi²
Cortando um pi de cima com um de baixo:
V2 = 1000 / pi
O Veredito: Comparando os volumes:
- V1 = 500 / pi
- V2 = 1000 / pi
Claramente, V2 é maior (é o dobro de V1). A maior capacidade é 1000 / pi.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A intuição engana! Muita gente pensa: “Se a folha de papel é a mesma (área lateral igual), o volume deve ser igual”. ERRADO!
O volume depende do quadrado do raio. Sacrificar altura para ganhar raio é sempre um bom negócio em geometria para ganhar volume. Um “prato raso” gigante tem mais volume que um “copo fino” alto, mesmo usando a mesma quantidade de vidro.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Calculamos o volume para as duas configurações. A configuração com a circunferência maior (20 cm) gerou um raio maior, o que resultou no maior volume final devido à potência quadrática do raio na fórmula.
- Expectativa: Um valor com 1000 no numerador e pi no denominador.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 4000 pi
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Isolamento. O aluno pode ter esquecido de dividir a circunferência por (2.pi) para achar o raio, usando o diâmetro ou o próprio valor da circunferência como raio, e ainda multiplicando por pi erroneamente.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
B) 2000 pi
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro Algébrico. Similar ao anterior, mas com algum fator de divisão por 2 perdido no caminho.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
C) 4000 / pi
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro no cálculo do raio. O aluno pode ter usado a fórmula C = pi . R (esquecendo o 2), achando R = 20/pi. Ao elevar ao quadrado (400) e multiplicar por 10, chegaria a 4000/pi.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
D) 1000 / pi
- Análise de Correspondência: Perfeita. Corresponde ao cálculo do cilindro “gordo”: Altura 10 e Raio 10/pi. V = 1000/pi.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
E) 500 / pi
- O “Diagnóstico do Erro”: A Escolha Errada. Esse é o volume exato da Embalagem 1 (o tubo fino). O aluno fez as contas certas, mas escolheu o menor volume em vez do maior, ou se confundiu com os desenhos.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa D é a correta. Em otimização de volumes cilíndricos com área lateral fixa, gordo e baixo sempre vence de magro e alto.
Resumo-flash (A Imagem Mental): O Raio é Rei: Como ele é elevado ao quadrado, vale mais a pena ser largo do que ser alto.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): Esse princípio explica por que tanques de armazenamento de petróleo e grandes reservatórios industriais costumam ser cilíndricos largos e não torres finas. Além da estabilidade estrutural, você armazena mais líquido gastando menos metal nas paredes (área lateral). É a economia aplicada através da geometria!
