Muitos brinquedos que frequentemente são encontrados em praças e parques públicos apresentam formatos de figuras geométricas bidimensionais e tridimensionais. Uma empresa foi contratada para desenvolver uma nova forma de brinquedo. A proposta apresentada pela empresa foi de uma estrutura formada apenas por hastes metálicas, conectadas umas às outras, como apresentado na figura. As hastes de mesma tonalidade e espessura são congruentes.
Com base na proposta apresentada, quantas figuras geométricas planas de cada tipo são formadas pela união das hastes?
A) 12 trapézios isósceles e 12 quadrados.
B) 24 trapézios isósceles e 12 quadrados.
C) 12 paralelogramos e 12 quadrados.
D) 8 trapézios isósceles e 12 quadrados.
E) 12 trapézios escalenos e 12 retângulos.
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Geometria Espacial: Poliedros e Vistas).
Geometria Plana (Identificação de Polígonos: Quadrados e Trapézios).
Tema/Objetivo Geral:
Analisar a estrutura de um objeto tridimensional complexo (um cubo dentro de outro), decompondo suas faces para identificar e contar as figuras geométricas planas que o formam, utilizando cores para diferenciar os planos.
Nível da Questão
Médio.
O aluno precisa de visão espacial para “desmontar” a figura mentalmente. A contagem dos quadrados é fácil, mas a identificação e contagem correta dos trapézios exige atenção para associar cada aresta a uma face de conexão.
Gabarito
Letra A.
A alternativa está correta pois a estrutura é formada por dois cubos (um pequeno dentro de um grande), totalizando 6 + 6 = 12 quadrados. As faces que conectam os dois cubos são formadas por 4 trapézios em cada uma das 3 dimensões (ou 1 para cada aresta), totalizando 12 trapézios isósceles.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão mostra um “Hypercubo” (ou Tesseracto 3D): um cubo pequeno flutuando dentro de um cubo grande, ligados pelas pontas.
O examinador quer saber: Quais são as peças planas (figuras 2D) que formam esse brinquedo? E quantas são?
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma Caixa de Presente dentro de outra Caixa.
- A caixa pequena tem 6 lados (quadrados).
- A caixa grande tem 6 lados (quadrados).
- Para a caixa pequena não cair, você colocou “paredes inclinadas” ligando a borda da pequena na borda da grande.
Essas paredes inclinadas têm 4 lados, sendo que o topo é menor que a base. Que figura é essa? Um Trapézio.
O verdadeiro desafio aqui é contar quantos trapézios existem sem se perder.
Plano de Ataque:
- Contar Quadrados: Cubo pequeno + Cubo grande.
- Identificar a Forma de Conexão: As hastes formam trapézios.
- Contar Trapézios: Quantos trapézios formam “o recheio” entre os cubos?
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos abrir a maleta da Geometria.
Ferramenta 1: O Cubo
- Tem 6 faces quadradas.
- Como temos dois cubos (um dentro do outro), temos 6 + 6 = 12 Quadrados.
Ferramenta 2: O Trapézio Isósceles
- É um quadrilátero com dois lados paralelos (bases) e dois lados não paralelos iguais (pernas).
- Na figura, a aresta do cubo pequeno é paralela à aresta do cubo grande. As hastes que as ligam são iguais (congruentes). Logo, formam Trapézios Isósceles.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Uma imagem poderosa pode transformar um conceito abstrato em uma memória inesquecível. A ilustração a seguir foi criada para visualizar a essência da nossa análise, tornando a ideia central clara e impactante:
(Decomposição por Cores): Observe a imagem acima. Utilizamos cores para separar as diferentes peças geométricas que compõem o brinquedo:
- As Áreas em AZUL (Quadrados):
- Representam as faces dos cubos.
- Temos o Cubo Externo (6 faces azuis grandes) e o Cubo Interno (6 faces azuis pequenas).
- Total: 12 Quadrados.
- As Áreas em VERMELHO (Trapézios):
- Representam as conexões (“paredes”) entre o cubo de dentro e o de fora.
- Note o formato geométrico vermelho: uma base maior (aresta externa), uma base menor (aresta interna) e laterais inclinadas iguais. Isso é a definição visual de um Trapézio Isósceles.
- A Contagem: Cada trapézio vermelho conecta uma aresta do cubo pequeno a uma aresta do cubo grande.
- O cubo tem 12 arestas.
- Logo, existem 12 Trapézios fazendo essa ligação.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO com a contagem visual!
Alguns alunos olham e pensam: “Tem 6 faces no cubo grande. Cada face parece ter uma moldura de 4 trapézios. 6 x 4 = 24”. (Alternativa B).
Erro! Os trapézios vermelhos não estão “colados” nas faces. Eles são as paredes do túnel. Cada trapézio pertence a uma aresta única, não a uma face. Se você contar 24, você está contando cada trapézio duas vezes (uma vez para cada face que ele toca). A contagem correta é pelas arestas: 12.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: As partes Azuis são Quadrados (12). As partes Vermelhas são Trapézios (12).
- Expectativa: 12 trapézios isósceles e 12 quadrados.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 12 trapézios isósceles e 12 quadrados.
- Análise de Correspondência: Perfeita.
- Análise:
- 12 Quadrados (Azuis): 6 faces do cubo interno + 6 faces do externo.
- 12 Trapézios (Vermelhos): Cada uma das 12 arestas do cubo interno se liga à correspondente do externo, formando as 12 faces laterais trapezoidais.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
B) 24 trapézios isósceles e 12 quadrados.
- Diagnóstico do Erro: Contagem Duplicada.
- Análise: O aluno contou os trapézios como se fossem molduras independentes para cada face (6 faces x 4 lados = 24), esquecendo que cada trapézio vermelho conecta arestas, não faces inteiras.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 12 paralelogramos e 12 quadrados.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Forma.
- Análise: Paralelogramos têm lados opostos iguais e paralelos. Na área vermelha, a base de fora é maior que a de dentro. Os lados inclinados se fecham. Isso define um trapézio, não um paralelogramo (ou retângulo).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 8 trapézios isósceles e 12 quadrados.
- Diagnóstico do Erro: Confusão com Vértices.
- Análise: O cubo tem 8 vértices (cantos). O aluno pode ter associado o número de trapézios aos cantos, mas os trapézios vermelhos estão ao longo das arestas (12), não nos vértices.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 12 trapézios escalenos e 12 retângulos.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Definição.
- Análise:
- Escalenos: Teriam lados diferentes. A imagem mostra simetria (isósceles).
- Retângulos: O texto fala em “formato de cubo”. As faces azuis são quadrados, que são retângulos especiais, mas a nomenclatura “quadrado” é a mais precisa e correta geometricamente para um cubo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A estrutura do brinquedo é uma projeção clássica de um cubo dentro de outro; visualmente, as faces dos cubos aparecem como 12 quadrados azuis, enquanto as conexões entre suas arestas formam 12 trapézios isósceles vermelhos que unem o núcleo à casca externa.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
Azul é Cubo (Quadrado). Vermelho é Túnel (Trapézio).
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conecte isso com a Física (4ª Dimensão).
Essa figura colorida é a “sombra” 3D de um Tesseracto (hipercubo de 4 dimensões). Assim como o desenho de um cubo no papel (2D) parece ter quadrados tortos (trapézios), a “foto” de um tesseracto no nosso mundo 3D parece ter cubos tortos (troncos de pirâmide). A geometria é a mesma, só mudando a dimensão!
