O governador de um estado propõe a ampliação de investimentos em segurança no transporte realizado por meio de trens. Um estudo para um projeto de lei prevê que se tenha a presença de três agentes mulheres, distribuídas entre os 6 vagões de uma composição, de forma que duas dessas agentes não estejam em vagões adjacentes, garantindo assim maior segurança aos usuários.
Disponível em: www.sisgraph.com.br. Acesso em: 29 jan. 2015 (adaptado).
A expressão que representa a quantidade de maneiras distintas das três agentes serem distribuídas nos vagões é
Resolução em texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Análise Combinatória com restrição (combinação e permutação), Raciocínio Lógico, Visualização de Distribuições.
📔 Nível da Questão:
Médio
✅ Gabarito:
C) C4,3 × 3!
🎯 Tema/Objetivo Geral:
Calcular o número de formas de distribuir 3 agentes em 6 vagões, sem que fiquem em vagões adjacentes, e levando em conta que a ordem entre os agentes importa.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
1.1. Decodificação do Objetivo:
A questão nos pede para encontrar a expressão matemática que representa o número total de maneiras de distribuir 3 agentes em 6 vagões de um trem, com uma restrição crucial: nenhuma agente pode ficar em um vagão vizinho (adjacente) a outra.
1.2. Simplificação Radical:
Em outras palavras: temos 6 cadeiras em fila. De quantas formas podemos sentar 3 pessoas de modo que sempre haja pelo menos uma cadeira vazia entre elas?
1.3. Roteiro de Ação (Plano de Ataque):
Tentar contar caso por caso seria um pesadelo. A estratégia mais elegante e segura para resolver problemas de “não adjacência” é o Método das Lacunas (ou dos Espaços). Nosso plano será:
- Vamos separar o que não tem restrição: Primeiro, vamos posicionar os vagões que ficarão vazios.
- Vamos criar os espaços seguros: Os vagões vazios criarão “lacunas” entre si, que são posições garantidamente não adjacentes.
- Vamos escolher os espaços: Em seguida, vamos escolher em quais dessas lacunas as agentes serão posicionadas.
- Vamos organizar as agentes: Por fim, vamos considerar que as agentes são pessoas distintas e podem ser arranjadas nas posições escolhidas.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Analogia Estendida: O Cinema das Cadeiras Vazias 🍿
Imagine que você e dois amigos (3 pessoas) chegam para sentar em uma fileira com 6 cadeiras, mas vocês querem manter o distanciamento social e não sentar um ao lado do outro.
- O Método Ineficiente: Tentar listar todas as posições (1-3-5, 1-3-6, 1-4-6, 2-4-6…) é confuso e fácil de errar.
- O Método das Lacunas (O Jeito Inteligente):
- Primeiro, tire as pessoas da equação. Se temos 6 cadeiras e 3 pessoas, quantas cadeiras ficarão vazias? 6 – 3 = 3 cadeiras vazias.
- Posicione as cadeiras vazias. Vamos representá-las por [ V ]. Colocamos as 3 cadeiras vazias em fila, o que cria espaços seguros (lacunas) entre e ao redor delas. Vamos marcar as lacunas com um _:
_ [ V ] _ [ V ] _ [ V ] _ - Conte as lacunas. Quantos espaços seguros nós criamos? Contando os _, temos 4 lacunas.
- Escolha as lacunas para sentar. Agora, vocês três podem escolher 3 dessas 4 lacunas para se sentar. Como a ordem em que escolhemos as cadeiras não importa neste momento, usamos uma Combinação: C₄³ (Combinação de 4, escolhendo 3).
- Organize as pessoas. Uma vez que as 3 cadeiras foram escolhidas, vocês (3 pessoas distintas) podem se sentar nelas de 3! (3 fatorial) maneiras diferentes.
A solução final é o produto dessas duas etapas: C₄³ × 3!.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos agora aplicar a analogia do cinema ao problema dos vagões.
3.1. Subpasso 1: Posicionar os Vagões Vazios e Criar as Lacunas
- Total de vagões: 6
- Agentes a serem alocadas: 3
- Vagões que ficarão vazios: 6 – 3 = 3 vagões vazios.
Vamos visualizar os vagões vazios (V) e as lacunas (_) onde as agentes podem entrar para garantir a separação:
_ V _ V _ V _
Temos, portanto, 4 lacunas seguras para alocar as 3 agentes.
3.2. Subpasso 2: Escolher os Vagões (as Lacunas)
Precisamos escolher 3 dessas 4 lacunas disponíveis. Como a ordem da escolha dos vagões não importa por enquanto, usamos a fórmula da Combinação:
- Número de maneiras de escolher os vagões = C₄³
3.3. Subpasso 3: Distribuir as Agentes nas Vagas Escolhidas
As 3 agentes são pessoas distintas. Uma vez que já escolhemos os 3 vagões (por exemplo, o 1º, o 3º e o 5º), precisamos arrumar as 3 agentes nesses 3 vagões. O número de maneiras de arranjar 3 itens distintos é a Permutação de 3, ou 3!.
- Número de maneiras de organizar as agentes = 3! = 3 × 2 × 1 = 6.
3.4. Momento da Leveza (A Piada Sutil)
Nem agentes de segurança gostam de colega de trabalho respirando no cangote no trem. O distanciamento é fundamental até para a segurança!
3.5. Subpasso 4: Juntar Tudo pelo Princípio Multiplicativo
O número total de maneiras distintas é o produto das duas etapas: o número de maneiras de escolher os vagões multiplicado pelo número de maneiras de arranjar as agentes neles.
- Total de maneiras = C₄³ × 3!
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
A armadilha mais comum é usar as fórmulas de combinação ou arranjo com os números originais (6 e 3). Por exemplo, C₆³ apenas escolheria 3 vagões quaisquer, permitindo vizinhos como (1, 2, 3). A₆³ arranjaria as agentes em 3 vagões quaisquer, também permitindo vizinhos. O Método das Lacunas é a chave para contornar essa armadilha e satisfazer a restrição de não adjacência.
3.6. Fechamento Obrigatório (A Bússola)
- Síntese do raciocínio: A solução exige um processo de duas etapas. Primeiro, usamos o Método das Lacunas para determinar o número de maneiras de escolher um conjunto de vagões válidos (não adjacentes), o que resulta em C₄³. Em seguida, consideramos que as agentes são distintas e as arranjamos nesses vagões escolhidos, o que resulta em 3!. O total é o produto dos dois.
- Expectativa: A expressão correta deve ser exatamente C₄³ × 3!.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) C₄³ + 3!
Análise: Usa o princípio aditivo em vez do multiplicativo. As etapas de escolher os locais e arranjar as pessoas são dependentes e devem ser multiplicadas.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) C₆³
Análise: Ignora a restrição de não adjacência e trata as agentes como idênticas (pois a combinação não considera a ordem).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) C₄³ × 3!
Análise: Esta expressão representa perfeitamente o raciocínio em duas etapas: escolher 3 das 4 lacunas seguras (C₄³) e depois arranjar as 3 agentes distintas nessas vagas (3!).
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
D) A₆³
Análise: Calcula o número de maneiras de arranjar 3 agentes em 6 vagões sem nenhuma restrição, incluindo, portanto, todos os casos proibidos em que elas são vizinhas.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) A₄³ × 3!
Análise: Esta expressão é redundante e matematicamente incorreta para o problema. O Arranjo A₄³ já é, por definição, C₄³ × 3!. Multiplicar por 3! novamente seria um erro.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – CONCLUSÃO CURTA + RESUMO-FLASH (O GRAND FINALE)
Frase de Fechamento:
A resposta correta é a alternativa C, pois a expressão C₄³ × 3! representa com exatidão o processo de primeiro escolher 3 posições não adjacentes entre as 4 lacunas possíveis e, em seguida, arranjar as 3 agentes distintas nessas posições.
Resumo-flash:
Para separar as agentes, primeiro separe os vagões vazios. Nos quatro espaços seguros que sobram, escolha três para as agentes (C₄³) e depois deixe que elas decidam quem vai em qual (3!).
