Numa avenida existem 10 semáforos. Por causa de uma pane no sistema, os semáforos ficaram sem controle durante uma hora, e fixaram suas luzes unicamente em verde ou vermelho. Os semáforos funcionam de forma independente; a probabilidade de acusar a cor verde é de 2/3 e a de acusar a cor vermelha é de 1/3. Uma pessoa percorreu a pé toda essa avenida durante o período da pane, observando a cor da luz de cada um desses semáforos.
Qual a probabilidade de que esta pessoa tenha observado exatamente um sinal na cor verde?
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Probabilidade e Análise Combinatória.
Nível da Questão: Difícil.
Gabarito: Alternativa A.
Tema/Objetivo Geral: Aplicação de probabilidade na distribuição de eventos independentes.
🔹 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomar o Comando da Questão
A questão trata da probabilidade de que, entre 10 semáforos funcionando de forma independente, exatamente um deles apresente a luz verde, enquanto os demais permaneçam vermelhos.
Explicação Detalhada
Cada semáforo pode estar em verde com probabilidade de 2/3 ou em vermelho com probabilidade de 1/3. Como os semáforos operam de forma independente, precisamos calcular a probabilidade de apenas um deles ser verde e os outros nove serem vermelhos.
Identificação de Palavras-chave
- Probabilidade: Medida da chance de um evento ocorrer.
- Evento independente: O estado de um semáforo não afeta o outro.
- Exatamente um semáforo verde: Restrição fundamental do problema.
📌 Definição do Objetivo
Determinar a probabilidade exata de que apenas um dos 10 semáforos esteja verde, considerando que cada semáforo tem uma probabilidade fixa e independente de funcionamento.
⚠️ Dica Geral: Em problemas de probabilidade com eventos independentes, devemos usar a multiplicação das probabilidades individuais e considerar os casos possíveis de ocorrência.
🔹 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Probabilidade de um evento ocorrer
A probabilidade de um evento A ocorrer é dada por:
P(A) = Número de casos favoráveis / Número total de casos possíveis
📌 Probabilidade de eventos independentes
Quando temos eventos independentes, a probabilidade conjunta de vários eventos ocorrerem ao mesmo tempo é dada pelo produto das probabilidades individuais.
📌 Fórmula do Binômio da Probabilidade
Se temos n eventos e queremos calcular a probabilidade de k sucessos, usamos:
P(k sucessos) = C(n, k) × (P_sucesso)^k × (P_fracasso)^(n-k)
Onde:
- C(n, k) é o número de combinações possíveis de k sucessos em n eventos, dado por:
C(n, k) = n! / (k! × (n – k)!) - P_sucesso é a probabilidade do evento ocorrer (neste caso, luz verde).
- P_fracasso é a probabilidade do evento não ocorrer (luz vermelha).
⚠️ Dica Geral: Sempre que houver um número fixo de sucessos em eventos independentes, a distribuição binomial pode ser aplicada.
🔹 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Análise do Contexto
Temos 10 semáforos que operam de maneira independente, cada um com probabilidade 2/3 de estar verde e 1/3 de estar vermelho. O problema quer a probabilidade de apenas um deles estar verde.
📌 Identificação de Frases-chave
- “Os semáforos funcionam de forma independente” → Podemos multiplicar as probabilidades.
- “Probabilidade de exatamente um estar verde” → Aplicação da fórmula do binômio.
📌 Tradução para Termos Matemáticos
Estamos lidando com um experimento binomial onde:
- n = 10 (número total de semáforos).
- k = 1 (exatamente um verde).
- P(verde) = 2/3.
- P(vermelho) = 1/3.
Agora, vamos calcular a probabilidade corretamente.
🔹 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Cálculo da Probabilidade
- Escolher um dos 10 semáforos para ser verde:
Número de maneiras de escolher 1 semáforo em 10: C(10,1) = 10 - Probabilidade do escolhido estar verde:
P(verde) = 2/3 - Probabilidade dos outros nove estarem vermelhos:
P(vermelho) = 1/3 para cada um, então:
(1/3)^9 - Multiplicamos tudo: P(exatamente 1 verde) = C(10,1) × (2/3) × (1/3)^9 P = 10 × (2/3) × (1/3)^9 P = 10 × 2 / 3^10 P = 10 × 2 / 59049
🔹 Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
Agora, verificamos qual alternativa corresponde ao resultado:
✅ Alternativa A: (10 × 2) / 3^10
🔍 Conclusão: Essa alternativa representa corretamente o resultado encontrado.
🔹 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio
- O problema trata de probabilidade binomial: Exatamente um dos 10 semáforos deve estar verde.
- Os semáforos são independentes, então multiplicamos as probabilidades individuais.
- Usamos a fórmula do binômio para encontrar a probabilidade correta.
📌 Reafirmação da Alternativa Correta
A probabilidade final é (10 × 2) / 3^10, que corresponde à Alternativa A.
🔍 Resumo Final:
O problema exigia a aplicação de conceitos de probabilidade binomial e cálculo de eventos independentes. Utilizamos a fórmula correta e encontramos a alternativa correspondente, garantindo um raciocínio sólido e bem estruturado.
