Pivô central é um sistema de irrigação muito usado na agricultura, em que uma área circular é projetada para receber uma estrutura suspensa. No centro dessa área, há uma tubulação vertical que transmite água através de um cano horizontal longo, apoiado em torres de sustentação, as quais giram, sobre rodas, em torno do centro do pivô, também chamado de base, conforme mostram as figuras. Cada torre move-se com velocidade constante.
Um pivô de três torres (T1, T2 e T3) será instalado em uma fazenda, sendo que as distâncias entre torres consecutivas bem como da base à torre T1 são iguais a 50 m. O fazendeiro pretende ajustar as velocidades das torres, de tal forma que o pivô efetue uma volta completa em 25 horas. Use 3 como aproximação para π.
Para atingir seu objetivo, as velocidades das torres T1, T2 e T3 devem ser, em metro por hora, de
A) 12, 24 e 36.
B) 6, 12 e 18.
C) 2, 4 e 6.
D) 300, 1200 e 2700.
E) 600, 2400 e 5400.
Resolução em texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria, Movimento Circular Uniforme.
📊 Nível da Questão: Médio.
✅ Gabarito: Alternativa A.
🎯 Tema/Objetivo Geral: Determinar a velocidade das torres do pivô central com base na fórmula do perímetro de uma circunferência e no tempo de uma volta completa.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando da Questão:
O sistema de pivô central consiste em uma estrutura que gira em torno de uma base fixa, onde cada torre percorre uma circunferência diferente conforme sua posição. A questão pede para calcular as velocidades das torres T1, T2 e T3, sabendo que a volta completa dura 25 horas e que cada torre se encontra a 50 m de distância da outra.
Explicação do Pedido:
A velocidade de cada torre pode ser determinada usando a fórmula do comprimento da circunferência e a relação entre deslocamento e tempo. Como todas as torres completam uma volta ao mesmo tempo, a velocidade aumenta conforme a distância da base.
Palavras-chave:
- Pivô central → Irrigação com movimento circular.
- Circunferência → Caminho percorrido por cada torre.
- Velocidade constante → Movimento uniforme.
- Perímetro da circunferência → Fórmula 2πr.
- Tempo de uma volta → 25 horas.
📌 Objetivo da Questão:
Determinar a velocidade de cada torre usando a equação do perímetro da circunferência e a relação entre deslocamento e tempo.
➡️ Agora que o objetivo foi identificado, vamos abordar os conceitos necessários.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Movimento Circular Uniforme (MCU):
No pivô central, cada torre percorre um círculo completo ao redor da base em 25 horas. A distância percorrida por cada torre corresponde ao perímetro da circunferência, dado por:
✔ Comprimento da circunferência = 2πr, onde r é o raio da trajetória.
📌 Cálculo da Velocidade:
A velocidade de cada torre é obtida dividindo a distância percorrida pelo tempo:
✔ Velocidade = (Perímetro da circunferência) / (Tempo da volta)
📌 Raio das torres:
- T1: 50 m
- T2: 100 m
- T3: 150 m
📌 Aproximação usada:
A questão pede para utilizar π = 3 para simplificar os cálculos.
➡️ Com os conceitos explicados, vamos interpretar a questão e aplicar as fórmulas.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Analisando a movimentação das torres:
Cada torre se move em movimento circular uniforme, com raios diferentes, mas todas completam a volta no mesmo tempo de 25 horas.
📌 O que precisamos calcular?
- Determinar o perímetro da circunferência de cada torre usando 2πr.
- Dividir essa distância pelo tempo (25 horas) para encontrar a velocidade de cada torre.
➡️ Agora, vamos calcular as velocidades de cada torre.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Calculando o comprimento da circunferência de cada torre:
- T1: 2π × 50 = 100π
- T2: 2π × 100 = 200π
- T3: 2π × 150 = 300π
📌 Substituindo π = 3:
- T1: 100 × 3 = 300 m
- T2: 200 × 3 = 600 m
- T3: 300 × 3 = 900 m
📌 Calculando a velocidade de cada torre (V = comprimento da circunferência / tempo):
- T1: 300 / 25 = 12 m/h
- T2: 600 / 25 = 24 m/h
- T3: 900 / 25 = 36 m/h
➡️ Agora, vamos analisar as alternativas para confirmar a resposta correta.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Revisando as alternativas:
- A) 12, 24 e 36 ✅ → Correto!
- B) 6, 12 e 18 ❌ → Valores abaixo do correto.
- C) 2, 4 e 6 ❌ → Valores muito baixos.
- D) 300, 1200 e 2700 ❌ → Ordem errada, valores não fazem sentido.
- E) 600, 2400 e 5400 ❌ → Erro nos valores calculados.
✅ Alternativa Correta: A) 12, 24 e 36.
➡️ Finalmente, vamos concluir a resolução com um resumo e a justificativa final.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
- Identificamos que cada torre percorre uma circunferência de raio diferente.
- Calculamos o comprimento da circunferência com a fórmula 2πr, usando π = 3.
- Dividimos o comprimento pelo tempo de uma volta (25 horas) para encontrar a velocidade de cada torre.
- Obtivemos as velocidades corretas:
- T1 → 12 m/h
- T2 → 24 m/h
- T3 → 36 m/h
- A alternativa correta foi identificada como A.
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
A questão exigiu a aplicação da fórmula do perímetro da circunferência e o conceito de movimento circular uniforme para calcular as velocidades corretamente. A resposta certa é Alternativa A.
🔍 Resumo Final:
A questão abordou movimento circular uniforme, onde todas as torres completam uma volta no mesmo tempo, mas percorrem circunferências de diferentes tamanhos. A aplicação direta da fórmula 2πr permitiu encontrar as velocidades corretamente.
✅ Resposta Final: Alternativa A.
