Enchem-se, segundo vazões constantes e idênticas, dois reservatórios, um em forma de um cilindro circular reto e outro em forma de prisma reto de base quadrada, cujo lado da base tem a mesma medida do diâmetro da base do primeiro reservatório.
O gráfico que representa a variação das alturas dos níveis da água do reservatório cilíndrico (h₁) e do reservatório em forma de prisma (h₂) em função do volume de água contido em cada um dos reservatórios (V) estão melhor representados em
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Espacial (Volume de Cilindros e Prismas), Funções (Função Linear), Análise de Gráficos.
- Tema/Objetivo Geral: Modelar algebricamente a relação entre o volume e a altura de sólidos de bases diferentes e interpretar essa relação graficamente.
- Nível da Questão: Médio. A questão exige mais do que a simples aplicação de fórmulas de volume. É necessário rearranjar as fórmulas para estabelecer uma função da altura em relação ao volume, analisar a natureza dessa função (linear ou não) e, crucialmente, comparar os coeficientes angulares (as taxas de crescimento) das duas funções para determinar qual gráfico é o correto.
- Gabarito: B. A relação entre altura e volume para ambos os sólidos é linear, resultando em retas. Como a área da base do cilindro é menor que a do prisma, para uma mesma vazão de água, o nível no cilindro (h₁) sobe mais rápido, gerando uma reta mais inclinada que a do prisma (h₂).
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir qual dos cinco gráficos representa corretamente como o nível da água (h) sobe dentro de um cilindro (h₁) e de um prisma de base quadrada (h₂) à medida que eles são preenchidos com um volume (V) de água.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine ter dois copos sobre uma mesa, um redondo e um quadrado. O fundo do copo quadrado é visivelmente maior que o do copo redondo. Se começarmos a despejar a mesma quantidade de suco, com a mesma velocidade, em ambos, o que acontecerá com o nível do líquido? O suco no copo mais “fino” (o redondo) subirá mais rápido. O desafio aqui é traduzir essa ideia intuitiva (“subir mais rápido”) para a linguagem dos gráficos.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): O plano para solucionar este caso será:
- Modelar as Funções: Adaptar as fórmulas de volume para expressar a altura (h) como uma função do volume (V) para cada reservatório.
- Analisar a Natureza das Funções: Determinar se as funções são lineares (retas) ou curvas, o que permitirá uma primeira eliminação de alternativas.
- Comparar as Taxas de Enchimento: Comparar as funções para descobrir qual altura (h₁ ou h₂) cresce mais rapidamente para um mesmo aumento de volume V.
- Identificar o Gráfico Correto: Confrontar a análise com as opções de gráficos restantes.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
A ferramenta principal é a análise das equações de volume para entender a relação h(V).
🕵️♂️ Dossiê do Enchimento: Decodificando as Fórmulas 🕵️♂️
- A Lógica Fundamental: O volume de água (V) em qualquer reservatório de paredes retas é sempre V = (Área da Base) × (altura da água, h).
- Análise do Cilindro (h₁):
- Área da Base: A = πR²
- Função do Volume: V = (πR²) * h₁
- Isolando h₁: h₁ = (1 / πR²) * V
- Análise do Prisma (h₂):
- Lado da Base: 2R
- Área da Base: A = (2R)² = 4R²
- Função do Volume: V = (4R²) * h₂
- Isolando h₂: h₂ = (1 / 4R²) * V
- Primeira Conclusão (Natureza da Função): Ambas as equações têm a forma h = k * V, onde k é uma constante. Esta é a equação de uma função linear, cujo gráfico é uma reta que passa pela origem.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Executando o plano de ataque com as conclusões do dossiê.
- Análise da Natureza das Funções:
- Como ambas as funções h₁(V) e h₂(V) são lineares, os gráficos devem ser compostos por retas que partem do ponto (0,0).
- Isso elimina imediatamente as alternativas C, D e E, que mostram relações curvas. Restam apenas A e B.
- Comparar as Taxas de Enchimento (as inclinações das retas):
- A inclinação da reta do cilindro é k₁ = 1 / πR².
- A inclinação da reta do prisma é k₂ = 1 / 4R².
- Para comparar as inclinações, basta comparar os denominadores. Sabemos que π é aproximadamente 3,14.
- Portanto, 4 > π, o que significa que 4R² > πR².
- A área da base do prisma é maior que a área da base do cilindro.
- Como os numeradores (1) são iguais, a fração com o denominador menor terá um valor maior. Logo, k₁ > k₂.
- Isso significa que a inclinação da reta do cilindro é maior que a do prisma. Graficamente, a reta de h₁ deve ser mais íngreme (estar por cima) da reta de h₂.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha aqui é a intuição visual sobre as fórmulas. Alguém poderia olhar para V = 4R²H e V = πR²H e, por ver o número 4 ser maior que π, concluir apressadamente que o prisma “cresce mais rápido”. Isso é um erro de interpretação. O número 4 na fórmula do volume do prisma indica uma base maior, e uma base maior significa que, para a mesma quantidade de água (V), a altura (h) sobe mais devagar. A defesa é sempre isolar a variável que se quer analisar (neste caso, h) para entender corretamente a relação.
- A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: As funções h(V) são retas. Como a base do cilindro (πR²) é menor que a do prisma (4R²), o nível da água no cilindro sobe mais rápido, resultando em uma reta mais inclinada.
- Expectativa: O gráfico correto deve mostrar duas retas partindo da origem, com a reta h₁ (cilindro) posicionada acima da reta h₂ (prisma).
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A)
- A Narrativa do Erro: Este gráfico mostra a reta h₂ acima da h₁, indicando que o nível no prisma sobe mais rápido. Isso contradiz nossa análise.
- Diagnóstico do Erro: Inversão da Relação de Proporcionalidade.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B)
- Análise de Correspondência: Este gráfico corresponde perfeitamente à “Expectativa”. Mostra duas retas partindo da origem, com h₁ consistentemente acima de h₂, indicando uma subida mais rápida no cilindro.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
C), D) e E)
- A Narrativa do Erro: Todos estes gráficos representam relações não-lineares (curvas), o que é incorreto para sólidos com paredes retas (seção transversal constante).
- Diagnóstico do Erro: Erro de Modelagem (confundir uma relação linear com uma quadrática ou outra curva).
- Conclusão: ❌ Alternativas incorretas.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirma-se que a resposta correta é a (B), pois a menor área da base do cilindro obriga o nível da água a subir mais rapidamente, resultando em uma função linear com maior inclinação.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Base menor, subida maior: a linha do cilindro está sempre no topo.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de que “uma base menor gera um crescimento mais rápido” é fundamental em Finanças e Economia, no conceito de “Efeito Base”. Quando se analisa o crescimento percentual do PIB de um país, um país com uma economia pequena (uma “base menor”, como o cilindro) pode apresentar taxas de crescimento percentual altíssimas com um aumento absoluto relativamente pequeno de riqueza. Já um país com uma economia gigante (uma “base maior”, como o prisma) precisa de um aumento absoluto de riqueza muito maior para atingir a mesma taxa percentual de crescimento. A lógica que rege o enchimento dos reservatórios é a mesma que explica por que é mais “fácil” para uma pequena empresa dobrar de tamanho do que para uma gigante multinacional.
