Questão 174 caderno cinza ENEM 2011 2° Dia

O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar

os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares.

Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é

A) 24

B) 31

C) 32

D) 88

E) 89

Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem – PFC)
Sistema de Numeração Decimal e Ordem de Grandeza
Raciocínio Lógico

Tema/Objetivo Geral: Determinar a posição de um número específico dentro de um conjunto ordenado, cujos elementos são formados sob restrições específicas.

Nível da Questão: Difícil.

Justificativa: A questão é considerada difícil porque exige um raciocínio combinatório sofisticado e organizado. Não basta aplicar uma única fórmula. É preciso quebrar o problema em múltiplos casos menores, aplicando o PFC em cada um deles, e depois somar os resultados. A chance de se perder na contagem ou de errar um dos sub-casos é alta, o que demanda grande atenção e domínio da matéria.

Gabarito: E) 89

Esta alternativa está correta, pois é o resultado da soma de todas as quantidades de números menores que 75913 (88) mais a posição do próprio número (+1).

🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

1.1 Transcrição Essencial
“a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é”

1.2 O que está sendo pedido?
A questão quer saber qual é a posição do número 75.913 em uma lista ordenada de forma crescente. A lista contém todos os números de 5 algarismos distintos formados apenas por dígitos ímpares.

1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é contar quantos números, formados sob as mesmas regras, são menores que 75.913. A posição do número 75.913 será o resultado dessa contagem mais um (pois ele ocupa a posição seguinte ao último número menor que ele).

1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que as regras são duas e ambas são cruciais?

Os algarismos são distintos (não podem se repetir).
Só podemos usar os dígitos ímpares: {1, 3, 5, 7, 9}.

📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários

2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
O conceito central aqui é o Princípio Fundamental da Contagem (PFC), também conhecido como Princípio Multiplicativo.

Princípio Fundamental da Contagem (PFC):
- O que é: Se um evento é composto por uma sequência de decisões independentes, o número total de maneiras de o evento ocorrer é o produto do número de opções para cada decisão.
- Explicação Simples: Se você tem 3 camisetas e 2 calças, o total de combinações de roupas é 3 * 2 = 6.
- Aplicação no Problema: Vamos usar o PFC para contar quantos números podemos formar preenchendo as “casinhas” dos 5 algarismos, uma de cada vez. Por exemplo:(opções para 1ª casa) * (opções para 2ª casa) * …

📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

3.1 Contextualização Simplificada
Vamos traduzir: Imagine que temos 5 cartas com os números {1, 3, 5, 7, 9}. Vamos formar todos os “números de 5 cartas” possíveis sem repetir nenhuma carta. Depois, colocamos todos esses números em uma lista, do menor para o maior. A gente precisa descobrir em que linha dessa lista gigante vai aparecer o número 75.913. Para isso, vamos contar quantos números vêm antes dele.

3.2 Estratégia Geral
A estratégia é quebrar o problema em casos, contando todos os números menores que 75.913 de forma organizada, do mais óbvio para o mais específico.

Caso 1: Contar todos os números que começam com um dígito menor que 7.
Caso 2: Contar os números que começam com 7, mas o segundo dígito é menor que 5.
Caso 3: Contar os números que começam com 75, mas o terceiro dígito é menor que 9.
Caso 4: Contar os números que começam com 759, mas o quarto dígito é menor que 1.
Somar todas essas contagens para saber quantos números vêm antes de 75.913.
Adicionar 1 ao resultado para encontrar a posição do próprio número.

🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos seguir nossa estratégia e contar caso a caso. Nossos dígitos disponíveis são {1, 3, 5, 7, 9}.

Caso 1: Números que começam com dígito menor que 7.

Os dígitos possíveis para a primeira casa são {1, 3, 5}. Temos 3 opções.
Para a segunda casa, sobram 4 dígitos (pois um já foi usado). 4 opções.
Para a terceira casa, sobram 3 dígitos. 3 opções.
Para a quarta, sobram 2. 2 opções.
Para a última, sobra 1. 1 opção.
Total de números no Caso 1 = 3 * 4 * 3 * 2 * 1 = 72 números.

Caso 2: Números que começam com 7, mas o segundo dígito é menor que 5.

Primeira casa: fixo o 7. 1 opção.
Segunda casa: dígitos menores que 5 (do que restou) são {1, 3}. 2 opções.
Terceira casa: sobraram 3 dígitos (dos 5 iniciais, já usamos 2). 3 opções.
Quarta casa: sobram 2 dígitos. 2 opções.
Última casa: sobra 1 dígito. 1 opção.
Total de números no Caso 2 = 1 * 2 * 3 * 2 * 1 = 12 números.

Caso 3: Números que começam com 75, mas o terceiro dígito é menor que 9.

Primeira casa: fixo o 7. 1 opção.
Segunda casa: fixo o 5. 1 opção.
Terceira casa: dígitos menores que 9 (do que restou) são {1, 3}. 2 opções.
Quarta casa: sobraram 2 dígitos (dos 5, já usamos 3). 2 opções.
Última casa: sobra 1 dígito. 1 opção.
Total de números no Caso 3 = 1 * 1 * 2 * 2 * 1 = 4 números.

Caso 4: Números que começam com 759, mas o quarto dígito é menor que 1.

Primeira casa: 7. Segunda: 5. Terceira: 9.
Quarta casa: não há nenhum dígito disponível que seja menor que 1.
Total de números no Caso 4 = 0 números.

Passo Final: Somar tudo e encontrar a posição.

Total de números menores que 75.913 = (Caso 1) + (Caso 2) + (Caso 3)
Total de números menores = 72 + 12 + 4 = 88 números.
Isso significa que 88 números vêm antes de 75.913.
Portanto, a posição (ordem de chamada) do número 75.913 é a próxima.
Posição = 88 + 1 = 89ª.

4.2 Verificação Intermediária
A soma dos números menores que 75.913 é 88. A posição do próprio número é 89. O raciocínio foi dividido em etapas claras e a soma parece consistente.

4.3 Possível armadilha
A principal armadilha é se perder na contagem. Por exemplo, no Caso 1, esquecer que os dígitos são distintos e calcular 3 * 5 * 4 * 3 * 2. Outra armadilha é esquecer de somar 1 no final. Se você encontra 88, é fácil marcar a alternativa D por impulso, mas 88 é a quantidade de números antes dele.

4.4 Fechamento e expectativa
Nossa contagem sistemática nos levou à 89ª posição. Agora vamos procurar por este valor nas alternativas.

✅ Passo 5: Análise das Alternativas

5.1 Listagem das Alternativas
A) 24
B) 31
C) 32
D) 88
E) 89

5.2 Justificativa Individual

A) 24 (🔴) Errada. Este valor (4!) corresponde ao número de permutações dos 4 últimos dígitos, mas não considera os casos anteriores.
B) 31 (🔴) Errada. Não corresponde a nenhum cálculo lógico derivado do problema.
C) 32 (🔴) Errada. Não corresponde a nenhum cálculo lógico derivado do problema.
D) 88 (🔴) Errada. Esta é a “pegadinha” clássica. 88 é a quantidade de números que vêm antes de 75.913, mas a pergunta é sobre a posição do próprio número.
E) 89 (🟢) Correta. Corresponde exatamente à soma de todos os números menores (88) mais a posição do próprio número (+1).

🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

6.1 Resumo do Raciocínio
Para encontrar a posição do número 75.913, calculamos quantos números menores que ele poderiam ser formados usando apenas os dígitos ímpares e distintos. Fizemos isso dividindo o problema em casos, de acordo com o primeiro, segundo e terceiro dígitos, e aplicando o Princípio Fundamental da Contagem em cada caso. A soma desses casos nos deu o número de termos anteriores, e ao adicionar 1, encontramos a posição exata.

6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a E) 89.

6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Para encontrar a posição de um número (N) em uma lista ordenada, o método é: conte quantos números menores que N existem. A posição de N será essa contagem + 1.

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