Um marceneiro está construindo um material didático que corresponde ao encaixe de peças de madeira com 10 cm de altura e formas geométricas variadas, num bloco de madeira em que cada peça se posicione na perfuração com seu formato correspondente, conforme ilustra a figura. O bloco de madeira já possui três perfurações prontas de bases distintas: uma quadrada (Q), de lado 4 cm, uma retangular (R), com base 3 cm e altura 4 cm, e uma em forma de um triângulo equilátero (T), de lado 6,8 cm. Falta realizar uma perfura-ção de base circular (C).
O marceneiro não quer que as outras peças caibam na perfuração circular e nem que a peça de base circular caiba nas demais perfurações e, para isso, escolherá o diâmetro do círculo que atenda a tais condições. Procurou em suas ferramentas uma serra copo (broca com formato circular) para perfurar a base em madeira, encontrando cinco exemplares, com diferentes medidas de diâmetros, como segue: (I) 3,8 cm; (II) 4,7 cm; (III) 5,6 cm; (IV) 7,2 cm e (V) 9,4 cm.
Considere 1,4 e 1,7 como aproximações para √2 e √3 , respectivamente.
Para que seja atingido o seu objetivo, qual dos exemplares de serra copo o marceneiro deverá escolher?
A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Geometria Plana (diagonais e relações entre formas)
- Cálculo de Percentual de Aumento
🔢 Nível da Questão
🔹Médio para Difícil
✅ Gabarito
- Alternativa B) II
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
A questão fala sobre um bloco de madeira com três furos geométricos já prontos:
- Quadrado (Q) com lado 4 cm
- Retângulo (R) com base 3 cm e altura 4 cm
- Triângulo Equilátero (T) com lado 6,8 cm
Agora, o marceneiro precisa fazer um furo circular (C) e escolher o diâmetro correto da serra copo.
🔹 Restrições importantes:
1️⃣ O círculo não pode ser pequeno o suficiente para caber dentro do quadrado.
2️⃣ O círculo não pode ser grande o suficiente para que o quadrado caiba dentro dele.
🔹 Nosso objetivo:
Escolher o maior diâmetro possível para o círculo sem ultrapassar essas condições.
Agora, vamos entender como garantir que o círculo fique no tamanho certo.
📌 Passo 2: Tradução e Interpretação do Texto
🔵 1) Como garantir que o círculo não caiba no quadrado?
Para que o círculo não caiba dentro do quadrado, ele não pode ter um diâmetro menor do que o lado do quadrado, ou seja:
- d>4 (lado do quadrado)
Isso significa que se o círculo tiver diâmetro menor ou igual a 4 cm, ele caberia dentro do quadrado, o que não pode acontecer.
🔴 2) Como garantir que o quadrado não caiba no círculo?
Agora, precisamos garantir que o quadrado não caiba dentro do círculo. Para isso, o diâmetro do círculo não pode ser maior ou igual à diagonal do quadrado.
A diagonal de um quadrado com lado L é dada pela fórmula:
- D quadrado=L√2
Substituindo L=4 cm e a aproximação √2≈1.4:
- D quadrado=4×1.4=5.6 cm
Isso significa que se o círculo tiver um diâmetro maior ou igual a 5,6 cm, o quadrado poderia caber dentro dele, o que não pode acontecer.
🟢 3) Qual intervalo de diâmetro o círculo pode ter?
Combinando as duas restrições:
- 4<d<5.6
Agora, precisamos escolher um valor dentro desse intervalo!
📌 Passo 3: Desenvolvimento de Raciocínio
Sabemos que o diâmetro do círculo deve estar entre 4 cm e 5,6 cm para garantir que:
1. O quadrado não caiba no círculo (d<5.6).
2. O círculo não caiba no quadrado (d>4).
1️⃣ 3,8 cm → Muito pequeno (caberia dentro do quadrado) ❌
2️⃣ 4,7 cm → Está dentro do intervalo correto ✅
3️⃣ 5,6 cm → Exatamente igual à diagonal do quadrado (o quadrado poderia caber dentro) ❌
4️⃣ 7,2 cm → Muito grande ❌
5️⃣ 9,4 cm → Muito maior que o permitido ❌
Portanto, a única opção que garante que o círculo não caiba no quadrado, mas também não permita que o quadrado caiba no círculo é:
✅ Alternativa II) 4,7 cm
Agora, vamos validar isso nos cálculos finais!
✅ Passo 4: Análise das Alternativas e Resolução
✅ Alternativa B) II (4,7 cm) → Correta!
Esse valor está dentro do intervalo permitido.
❌ Alternativa A) I (3,8 cm) → Errada!
Menor que 4 cm, o que faria o círculo caber dentro do quadrado.
❌ Alternativa C) III (5,6 cm) → Errada!
Igual à diagonal do quadrado, então o quadrado caberia dentro do círculo.
❌ Alternativa D) IV (7,2 cm) → Errada!
Muito grande, permitindo que o quadrado e até o retângulo coubessem dentro.
❌ Alternativa E) V (9,4 cm) → Errada!
Gigantesco, permitindo que todas as peças caibam dentro.
✅ Resposta correta: Alternativa B) 4,7 cm
🎯Passo 5: Conclusão e Justificativa Final
🎯 Resumo do raciocínio:
1️⃣ O círculo não pode caber dentro do quadrado, então precisa ter um diâmetro maior que 4 cm.
2️⃣ O quadrado não pode caber dentro do círculo, então o diâmetro deve ser menor que 5,6 cm.
3️⃣ O único diâmetro disponível dentro desse intervalo era 4,7 cm.
✅ Alternativa correta: B) 4,7 cm.
