Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo que, em cada ciclo completo (verde-amarelo- vermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz verde permaneça acesa seja igual a 2/3 do tempo em que a luz vermelha
fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos.
Qual é a expressão que representa a relação entre X e Y
A) 5X − 3Y + 15 = 0
B) 5X − 2Y + 10 = 0
C) 3X − 3Y + 15 = 0
D) 3X − 2Y + 15 = 0
E) 3X − 2Y + 10 = 0
🧠 Tema Geral: Equações Algébricas – Expressões com Variáveis
📚 Matérias Necessárias:
- Álgebra (interpretação de expressões com variáveis)
- Tradução matemática de situações cotidianas
- Operações com frações
📈 Nível da Questão:
Fácil, pois envolve apenas modelagem de uma situação simples com equações e frações. A dificuldade pode estar em organizar as variáveis corretamente antes de montar a equação final.
✔️ GABARITO: Alternativa B
✅ PASSO 1 — Análise do Comando e Objetivo
📌 Comando Essencial:
“A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos.
Qual é a expressão que representa a relação entre X e Y?”
📌 O que está sendo pedido?
Descobrir qual é a equação que relaciona X (tempo da luz verde) com Y (tempo total do ciclo), respeitando as condições de tempo dadas para cada cor.
📌 Objetivo Cristalino:
Montar uma equação envolvendo X e Y, com base nas durações das luzes verde, amarela e vermelha, e identificar qual das alternativas expressa corretamente essa relação.
📌 Dica:
Use a ideia de somar os tempos das três luzes para obter o tempo total do ciclo (Y). Também é essencial traduzir a proporção entre os tempos da luz verde e da luz vermelha corretamente.
💬 Possíveis Armadilhas:
Muitos alunos se atrapalham ao inverter a proporção: dizem que a luz vermelha é 2/3 da verde, quando na verdade é o inverso — a verde é 2/3 da vermelha!
✔ Pergunta de Atenção:
Se a luz verde dura X segundos, como escrever o tempo da luz vermelha em função de X?
✅ PASSO 2 — Explicação de Conceitos e conteúdos Necessários
📌 1. Construindo Equações a Partir de um Texto
Sempre que uma questão traz frases como “a luz verde dura 2/3 do tempo da vermelha”, você deve escolher uma variável para um dos tempos e escrever os outros tempos com base nisso.
📌 2. Operações com Frações
Quando temos uma equação com frações (como 2/3 de algo), vale lembrar:
- “2/3 do tempo da vermelha” = (2/3) × tempo da vermelha
- Para inverter isso e escrever o tempo da vermelha em função da verde, usamos:
- Verde=2/3 × Vermelha ⇒ Vermelha = 3/2×Verde
📌 3. Montar a Equação do Tempo Total
Sabemos que o tempo total de um ciclo (Y) é a soma do tempo de cada cor:
- Y= verde + amarela + vermelha
Basta expressar tudo em função de X e Y para resolver.
✅ PASSO 3 — Tradução e Interpretação do Texto
Do enunciado, temos as seguintes informações:
- A luz amarela dura 5 segundos
- A luz verde dura X segundos
- A luz verde dura 2/3 do tempo da vermelha, então:
X=2/3 ⋅ vermelha ⇒ vermelha = 3/2.X
- O tempo total do ciclo é Y segundos
🧩 Então o tempo total Y é:
- Y = verde + vermelha + amarela = X+3/2 . X+5
Agora vamos desenvolver isso com calma no próximo passo.
✅ PASSO 4 — Desenvolvimento de Raciocínio
👉 Vamos montar a equação passo a passo:
Etapa 1: Montar a expressão de Y
- Y=X+3/2X+5
Somando os termos com X:
- Y= (1+3/2) X + 5 = 5/2X + 5
Etapa 2: Passar todos os termos para um lado da equação
Queremos escrever a equação no formato zero = …, então:
- 5/2.X + 5 − Y = 0
Etapa 3: Eliminar fração (multiplicar todos os termos por 2)
2⋅(5/2.X + 5 − Y) = 0 ⇒ 5X + 10 − 2Y = 0
Etapa 4: Reorganizar os termos
- 5X−2Y+10=0
🟩 Essa é a expressão pedida!
✅ PASSO 5 — Análise das Alternativas
Vamos testar cada alternativa até encontrar a correta:
🔹 Letra A:
5X−3Y+15=0
→ Se fosse correto, o termo com Y teria que ser –2Y, não –3Y ❌
🔹 Letra B:
5X−2Y+10=0
→ EXATAMENTE a equação que chegamos ✅
🔹 Letra C:
3X−3Y+15=0
→ Coeficientes estão errados ❌
🔹 Letra D:
3X−2Y+15=0
→ Teria que ter 5X e +10 ❌
🔹 Letra E:
3X−2Y+10=0
→ Coeficiente de X incorreto ❌
✅ PASSO 6 — Conclusão e Justificativa Final
Ao traduzirmos corretamente a proporção entre os tempos das luzes e somarmos tudo, vimos que o tempo total do ciclo é dado por:
- Y= X + 3/2X + 5 ⇒ 5X − 2Y + 10 = 0
Assim, a única alternativa que representa corretamente a relação entre X e Y é a:
✅ Letra B
