Um jardineiro dispõe de k metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área.

O jardineiro escolherá a forma de

A) hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será

B) hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será

C) quadrado, pois a área do jardim, em metro quadrado, será

D) triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será

E) triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será

Resolução em texto

Matérias Necessárias para a Solução:

• Geometria plana (cálculo de áreas e perímetros) e análise comparativa.

Nível da Questão: Médio.

Gabarito: Alternativa A.

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1º Passo: Análise do Comando e Definição do Objetivo

• Comando da Questão: Identificar qual forma geométrica resulta na maior área quando delimitada por uma cerca de comprimento k, considerando triângulo equilátero, quadrado ou hexágono regular.
• Palavras-chave:
  • “Jardim ornamental”
  • “Forma com maior área”
  • “Triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular.”
• Objetivo: Determinar qual das formas geométricas oferece a maior área para o mesmo comprimento de cerca, utilizando as fórmulas de área e substituindo o lado em função de k.
• ⚠️ Dica Geral: Sempre substitua as variáveis da fórmula em termos de k antes de calcular a área, garantindo que os comparativos sejam consistentes.

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2º Passo: Tradução e Interpretação do Texto

A questão pede para encontrar a forma geométrica com maior área possível, sendo o comprimento total da cerca k. As três formas geométricas disponíveis são:

1. Triângulo Equilátero: Com 3 lados iguais.
2. Quadrado: Com 4 lados iguais.
3. Hexágono Regular: Com 6 lados iguais.

A cerca será igualmente distribuída entre os lados da figura, e as áreas serão calculadas utilizando fórmulas específicas para cada figura.

Conclusão parcial: Precisamos calcular a área de cada figura em função de k.

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3º Passo: Explicação de Conceitos Necessários

1. Comprimento de cada lado:
   • Triângulo equilátero: L=k/3.
   • Quadrado: L=k/4.
   • Hexágono regular: L=k/6.
2. Fórmulas de área:
   • Triângulo equilátero:
     
   • Quadrado:
     
   • Hexágono regular:
     O hexágono pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros:
     
3. Substituindo L nas fórmulas:
   • Substituímos os valores de L em função de k nas respectivas fórmulas.

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4º Passo: Análise das Alternativas

1. Triângulo equilátero:
   Substituímos L=k/3​ na fórmula
   
2. Quadrado:
   Substituímos L=k/4​ na fórmula:
   
3. Hexágono regular:
   Substituímos L=k/6 na fórmula:
   

Comparando as áreas:

• Triângulo equilátero:
• Quadrado:
• Hexágono regular:

O hexágono regular apresenta a maior área, conforme indicado na alternativa A.

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5º Passo: Conclusão e Justificativa Final

Conclusão: O jardineiro deve escolher a forma do hexágono regular, pois ela oferece a maior área possível com o mesmo comprimento de cerca k.

Resumo Final: Ao comparar as áreas das três figuras geométricas, verificamos que o hexágono regular apresenta a maior área, com o valor:​​

Resposta final: Alternativa A.