Um jardineiro dispõe de k metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área.
O jardineiro escolherá a forma de
A) hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será
B) hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será
C) quadrado, pois a área do jardim, em metro quadrado, será 
D) triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será
E) triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria Plana (Cálculo de Áreas de Polígonos Regulares)
- Álgebra Elementar (Manipulação de Variáveis e Frações)
- Tema/Objetivo Geral: Comparar as áreas de diferentes polígonos regulares que possuem o mesmo perímetro (problema isoperimétrico).
- Nível da Questão: Médio.
- O aluno precisa dominar as fórmulas de área do triângulo equilátero, quadrado e hexágono, além de substituir o lado (L) em função do perímetro (k) e simplificar as expressões algébricas resultantes para compará-las.
- Gabarito: A
- A alternativa está correta. O hexágono regular é a forma que, para um perímetro fixo, apresenta a maior área entre as opções. Ao calcularmos sua área em função de k, chegamos à expressão (k² . sqrt(3)) / 24.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Em bom português, a missão é: “Você tem um pedaço de arame de tamanho fixo (k). Você pode dobrá-lo para formar um triângulo, um quadrado ou um hexágono. Qual desses formatos vai cercar a maior quantidade de grama (área) lá dentro?”
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que você tem 12 pessoas para dar as mãos e formar uma roda (o perímetro é fixo).
- Se elas formarem um triângulo bem apertado, cabem poucas coisas no meio.
- Se formarem um círculo bem aberto, cabe muita coisa no meio.
Quanto mais lados a figura tem, mais “gordinha” e parecida com um círculo ela fica, e mais área ela tem. O hexágono é o mais “arredondado” dos três.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Padronizar os Lados: Descobrir quanto mede o lado de cada figura em função do arame total (k).
- Calcular as Áreas: Aplicar as fórmulas de área substituindo o valor do lado.
- O Confronto Final: Comparar os resultados algébricos para ver qual fração é maior.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver este caso, precisamos das Fórmulas de Área em função do lado (L).
DOSSIÊ: AS FÓRMULAS MÁGICAS
- Triângulo Equilátero:
- Lado: L = k / 3
- Área = (L² . sqrt(3)) / 4
- Quadrado:
- Lado: L = k / 4
- Área = L²
- Hexágono Regular:
- Lado: L = k / 6
- Área = 6 . (Área do Triângulo Equilátero) = 6 . [(L² . sqrt(3)) / 4]
- Simplificando: Área = (3 . L² . sqrt(3)) / 2
Obs: sqrt(3) significa raiz quadrada de 3, que vale aprox. 1,73.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos calcular a área de cada candidato usando “k”.
1. O Triângulo Equilátero:
- Lado = k/3
- Área = [ (k/3)² . sqrt(3) ] / 4
- Área = [ (k²/9) . sqrt(3) ] / 4
- Área = (k² . sqrt(3)) / 36
(Guardar este número).
2. O Quadrado:
- Lado = k/4
- Área = (k/4)²
- Área = k² / 16
(Guardar este número).
3. O Hexágono Regular:
- Lado = k/6
- Área = 6 . [ (k/6)² . sqrt(3) / 4 ]
- Área = 6 . [ (k²/36) . sqrt(3) / 4 ]
- Simplificando 6 com 36 (sobra 6 embaixo):
- Área = [ (k²/6) . sqrt(3) ] / 4
- Área = (k² . sqrt(3)) / 24
(Guardar este número).
4. O Veredito (Comparação):
Vamos comparar o Triângulo e o Hexágono primeiro (ambos têm raiz de 3).
- Triângulo: divide por 36.
- Hexágono: divide por 24.
- Conclusão: Dividir por 24 resulta em um número maior do que dividir por 36. O Hexágono ganha do Triângulo.
Agora, Hexágono vs Quadrado?
- Hexágono: (1,73 / 24) . k² ≈ 0,072 k²
- Quadrado: (1 / 16) . k² = 0,0625 k²
- Vencedor: O Hexágono (0,072 é maior que 0,062).
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha visual aqui é olhar para os denominadores (36, 16, 24) e achar que o maior denominador dá a maior área.
Lembre-se: em frações, quanto maior o número de baixo (denominador), menor é o pedaço. O triângulo tem denominador 36, por isso é o menor de todos. O hexágono tem denominador 24 (na fórmula com raiz), o que o torna maior que o triângulo.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Calculamos as áreas substituindo o perímetro k. O hexágono resultou em (k² . sqrt(3)) / 24. Ao comparar coeficientes numéricos, esta foi a maior área encontrada.
- Expectativa: Hexágono regular com a fórmula (k² . sqrt(3)) / 24.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será (k² . sqrt(3)) / 24.
- Análise de Correspondência: Perfeita. Identifica a forma correta (hexágono) e apresenta a fórmula algébrica exata que deduzimos no passo 3.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
B) hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será (3k² . sqrt(3)) / 2.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Substituição. O aluno provavelmente usou a fórmula do hexágono em função do lado L, mas esqueceu de substituir L por k/6, ou esqueceu de elevar o 6 ao quadrado (36) na simplificação.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
C) quadrado, pois a área do jardim, em metro quadrado, será k² / 16.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Conceito (Otimização). O cálculo da área do quadrado está certíssimo (k²/16), mas a conclusão de que ele é a “maior área” está errada. O quadrado perde para o hexágono.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
D) triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será (k² . sqrt(3)) / 36.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Conceito (Otimização). O cálculo da área do triângulo está corretíssimo, mas entre os três polígonos regulares citados, o triângulo é o que possui a menor área para um mesmo perímetro.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
E) triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será (k² . sqrt(3)) / 4.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Variável. O aluno usou a fórmula da área em função do lado L como se L fosse igual a k. Esqueceu que o lado é k/3.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa A é a correta. Este problema ilustra uma propriedade geométrica fundamental: para um perímetro fixo, quanto maior o número de lados de um polígono regular, maior será sua área.
Resumo-flash (A Imagem Mental): O arame quer ser livre e gordinho. Quanto mais cantos você força ele a ter (triângulo -> quadrado -> hexágono -> círculo), mais espaço ele abre por dentro.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): Esse princípio é conhecido como Desigualdade Isoperimétrica. É por causa dele que as bolhas de sabão são esféricas e as células de gordura são arredondadas. A natureza tenta sempre economizar “embalagem” (membrana/perímetro) para guardar o máximo de “conteúdo” (volume/área). O círculo (ou esfera no 3D) é a forma geométrica mais eficiente do universo: ele guarda a máxima área possível com o mínimo de perímetro. Se o jardineiro pudesse fazer um jardim circular, a área seria ainda maior que a do hexágono!
