O chocolate é um dos alimentos mais apreciados e desejados do mundo. Uma loja especializada nesse produto oferece uma promoção para os bombons, que custam R$ 2,00 cada. Cada cliente tem x% de desconto na compra de x bombons. A promoção é válida para a compra de até 40 bombons, ou seja, 40% é o desconto máximo possível. Queremos escrever uma expressão para V em função de x, com x ≤ 40 .
Qual é a expressão do valor V, em reais, na compra de x bombons da promoção, por cliente?
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática Básica (Porcentagem e Expressões Algébricas).
Funções (Modelagem de Situações Reais).
Tema/Objetivo Geral:
Criar uma fórmula matemática (Função Quadrática) que calcule o preço final de uma compra, onde o desconto unitário varia dinamicamente conforme a quantidade comprada.
Nível da Questão
Médio.
Exige transformar um texto com duas variáveis interdependentes (quantidade e porcentagem) em uma expressão algébrica. O erro comum é aplicar o desconto no total em vez de no preço unitário (ou vice-versa), embora matematicamente o resultado seja o mesmo, a montagem do raciocínio é o desafio.
Gabarito
Letra C.
V = 2x – x²/50.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A loja vende bombons por R$ 2,00.
Mas tem uma regra maluca: Se você compra 5 bombons, ganha 5% de desconto. Se compra 20, ganha 20%. Se compra x, ganha x%.
Precisamos escrever uma “fórmula mágica” (equação) onde você coloca o número de bombons (x) e ela cospe o valor total a pagar (V).
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma máquina calculadora.
Entrada: Número de Bombons (x).
Processo 1: Calcular o desconto (x dividido por 100).
Processo 2: Tirar esse desconto do preço de R$ 2,00.
Processo 3: Multiplicar pelo número de bombons.
Saída: Valor Final (V).
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- O Preço Cheio: Quanto custaria sem desconto?
- O Fator de Desconto: Como escrever “x por cento” em matematiquês?
- O Preço Unitário Real: Quanto custa cada bombom depois do desconto?
- O Total: Multiplicar o Preço Unitário Real pela quantidade (x).
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos usar a Linguagem Algébrica de Porcentagem.
Ferramenta 1: O “Por Cento”
x% é o mesmo que x / 100.
Ferramenta 2: O Desconto
Existem dois jeitos de calcular desconto:
- Jeito A: Valor Final = Valor Total – (Valor Total * Desconto).
- Jeito B: Valor Final = Quantidade * (Preço Unitário * (1 – Desconto)).
Ambos dão no mesmo. Vamos pelo Jeito A que é mais intuitivo para a maioria.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos montar a equação passo a passo.
1. O Valor Sem Desconto (Preço Bruto)
Se cada bombom custa R$ 2,00 e compramos “x” bombons:
Valor Bruto = 2x.
2. O Valor do Desconto (A Economia)
O desconto é de x% sobre o valor da compra.
Desconto = (x / 100) * Valor Bruto
Desconto = (x / 100) * 2x
Vamos melhorar essa expressão:
Multiplicando x por 2x, temos 2x².
Desconto = 2x² / 100.
Simplificando a fração (dividindo por 2 em cima e embaixo):
Desconto = x² / 50.
3. O Valor Final (V)
Valor Final = Valor Bruto – Desconto
V = 2x – (x² / 50)
Pronto! Chegamos à fórmula.
MÉTODO ALTERNATIVO (Pelo Preço Unitário)
- Preço Unitário Original: R$ 2,00.
- Desconto Unitário: x% de R$ 2,00 = (x/100) * 2 = 2x/100 = x/50.
- Preço Unitário com Desconto: 2 – (x/50).
- Total (V): Quantidade * Preço Unitário com Desconto.
V = x * [2 – (x/50)]
Aplicando a distributiva (chuveirinho):
V = 2x – (x²/50).
Mesmo resultado!
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! Muita gente confunde x% (porcentagem) com x (reais).
Se você esquecer de dividir o x por 100, a conta vira uma bagunça.
Outro erro: Esquecer que o desconto se aplica a cada bombom (ou ao total).
Se você aplicar o desconto apenas uma vez (subtrair x/100 de 2x), estará errado. A porcentagem multiplica o valor, não subtrai direto.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O total bruto é 2x. O desconto é x% disso. V = 2x – (x% de 2x).
- Expectativa: Procurar a expressão 2x – x²/50.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) V = x²/50
Diagnóstico do Erro: Fórmula do Desconto.
Essa expressão representa apenas o valor que o cliente economizou (o desconto), não o valor que ele pagou.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) V = 2 – x/50
Diagnóstico do Erro: Preço Unitário.
Essa expressão representa o preço de um único bombom com desconto. O cliente comprou “x” bombons, então faltou multiplicar tudo por x.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) V = 2x – x²/50
Análise de Correspondência:
Correto. Representa o Valor Bruto (2x) menos o Valor do Desconto (x% de 2x = 2x²/100 = x²/50).
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
D) V = x – x²/100
Diagnóstico do Erro: Preço Errado. O aluno assumiu que o bombom custava R$ 1,00 (1x) em vez de R$ 2,00 (2x).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) V = 2x – x/100
Diagnóstico do Erro: Erro de Porcentagem.
O aluno subtraiu “x centavos” (ou x/100 reais) do valor total, em vez de subtrair x por cento. Tratou a porcentagem como um valor fixo monetário, ignorando a multiplicação.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A resposta é a Alternativa C, pois ao subtrairmos o desconto percentual variável (x/100) aplicado sobre o montante bruto (2x), obtemos a função quadrática 2x – x²/50.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Desconto é multiplicação. Se o desconto é x%, você multiplica por x e divide por 100. Depois tira isso do total.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Essa função é uma Parábola com concavidade para baixo.
Isso é interessante para o dono da loja:
- No começo, quanto mais o cliente compra, mais ele gasta (o termo “2x” ganha).
- Mas conforme o “x” cresce, o desconto (“x²/50”) cresce ao quadrado (muito mais rápido)!
- Se o cliente pudesse comprar 100 bombons, o desconto seria 100%, e ele levaria tudo de graça (V=0). Por isso a questão diz que a promoção só vale até 40 bombons! Modelar funções é vital para não quebrar a loja com promoções malucas.
