Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas  numerações, conforme ilustrado na figura.

De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por

A) C⁴₁₂ x C³₁₂ x C³₁₂ x C²₁₂

B) C⁴₁₂ + C³₈ + C³₅ + C²₂

C) C⁴₁₂ x 2 x C³₈ x C²₅

D) C⁴₁₂ + 2 x C³₁₂ x C²₁₂

E) C⁴₁₂ x C³₈ x C³₅ x C²₂

Resolução em Texto

Matérias Necessárias:

• Análise Combinatória, Probabilidade.

Nível da Questão: Fácil.

Gabarito: E.

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Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

📌 Análise do Comando:
O enunciado informa que um brinquedo é composto por uma locomotiva e 12 vagões, numerados de 1 a 12. Dentre os vagões, 4 devem ser pintados de vermelho, 3 de azul, 3 de verde e 2 de amarelo. A questão pede a quantidade de trens que podem ser montados considerando as variações nas colorações dos vagões, utilizando combinações.

🔹 Palavras-chave:

• combinações
• variações nas colorações
• C(12,4), C(8,3), C(5,3) e C(2,2)

✔ Objetivo da Questão:
Determinar, por meio do princípio multiplicativo, o número total de trens que podem ser formados a partir das escolhas de vagões para cada cor, ou seja, calcular o produto: C(12,4) × C(8,3) × C(5,3) × C(2,2).

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Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários

📌 Conceitos Fundamentais:
🔹 Combinações:
Utiliza-se a combinação para calcular o número de maneiras de escolher k elementos dentre n disponíveis, onde a ordem não importa.

• Exemplo: C(n, k) representa esse número.

🔹 Princípio Multiplicativo:
Quando eventos independentes ocorrem em sequência, o total de combinações é o produto dos números de combinações de cada etapa.

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Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto

📌 Interpretação dos Dados:

• Vagões Totais: 12.
• Escolha dos Vermelhos: Selecionar 4 vagões dentre 12 → C(12,4).
• Escolha dos Azuis: Após retirar os 4 vermelhos, restam 8 vagões; escolher 3 → C(8,3).
• Escolha dos Verdes: Dos vagões restantes (8 – 3 = 5), escolher 3 para verde → C(5,3).
• Escolha dos Amarelos: Os 2 vagões que sobram serão amarelos → C(2,2).

🔹 Conversão para Termos Matemáticos:
A quantidade total de combinações é dada pelo produto:
C(12,4) × C(8,3) × C(5,3) × C(2,2).

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Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

📌 Seleção dos Vagões para Cada Cor:

• Vermelho:
  • Dos 12 vagões, escolher 4: C(12,4).
• Azul:
  • Restam 12 – 4 = 8 vagões; escolher 3: C(8,3).
• Verde:
  • Dos 8 – 3 = 5 vagões restantes; escolher 3: C(5,3).
• Amarelo:
  • Os 2 vagões restantes serão automaticamente amarelos: C(2,2).

🔹 Aplicação do Princípio Multiplicativo:
Multiplicando os resultados de cada escolha, temos:
Total de trens = C(12,4) × C(8,3) × C(5,3) × C(2,2).

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Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução

📌 Alternativas Apresentadas:

• A) C(12,4) × C(3,12) × C(3,12) × C(2,12)
• B) C(12,4) + C(3,8) + C(3,5) + C(2,2)
• C) C(12,4) × 2 × C(3,8) × C(2,5)
• D) C(12,4) + 2 × C(12,3) × C(12,2)
• E) C(12,4) × C(8,3) × C(5,3) × C(2,2)

✅ Alternativa Correta:

• ✅ E: Esta alternativa utiliza a sequência correta de combinações:
  • Seleciona 4 dos 12 vagões para vermelho,
  • 3 dos 8 restantes para azul,
  • 3 dos 5 restantes para verde,
  • E os 2 restantes para amarelo.

❌ Alternativas Incorretas:

• ❌ A: Utiliza parâmetros incorretos para as combinações (ex.: C(3,12) e C(2,12) não correspondem à situação).
• ❌ B: Apresenta soma das combinações em vez de multiplicação, o que não representa o princípio multiplicativo necessário.
• ❌ C: Inclui um fator multiplicativo extra (2) e combinações com parâmetros errados.
• ❌ D: Utiliza adição e combinações inadequadas, sem refletir a divisão dos 12 vagões conforme as cores.

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Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

📌 Resumo do Raciocínio:
Organizando os 12 vagões, primeiramente escolhe-se 4 para serem pintados de vermelho (C(12,4)), depois 3 para azul dentre os 8 restantes (C(8,3)), em seguida 3 para verde dentre os 5 vagões restantes (C(5,3)), e os 2 vagões restantes serão amarelos (C(2,2)). Pela aplicação do princípio multiplicativo, o total de variações é o produto dessas combinações.

🔍 Resumo Final:
🔍 Assim, a quantidade de trens que podem ser montados é dada por:
C(12,4) × C(8,3) × C(5,3) × C(2,2), que corresponde à alternativa E.

✔ Justificativa Final:
A resolução detalhada demonstra que, considerando as escolhas sucessivas para cada cor, a única alternativa compatível com o raciocínio é a E, garantindo o cálculo correto do número de trens possíveis.