Questão 171, caderno azul do ENEM 2019 – DIA 2

Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustrado na figura.

Questão 171 - ENEM 2019 - Questão 171,Análise Combinatória

De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por

A) C⁴₁₂ x C³₁₂ x C³₁₂ x C²₁₂

B) C⁴₁₂ + C³₈ + C³₅ + C²₂

C) C⁴₁₂ x 2 x C³₈ x C²₅

D) C⁴₁₂ + 2 x C³₁₂ x C²₁₂

E) C⁴₁₂ x C³₈ x C³₅ x C²₂

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão:

Análise Combinatória: Combinações Simples (Cn,k).
Princípio Fundamental da Contagem (Princípio Multiplicativo).

Tema/Objetivo Geral:

Calcular o número de agrupamentos possíveis (permutações com repetição ou combinações sucessivas) para pintar um conjunto de objetos distintos (vagões numerados), onde a ordem da escolha das cores importa para a configuração final.

Nível da Questão: Fácil.

A questão exige apenas a aplicação direta da fórmula de combinação em etapas sucessivas. O “pulo do gato” é lembrar de reduzir o total de vagões disponíveis a cada etapa (12 -> 8 -> 5 -> 2) e multiplicar as possibilidades (E), em vez de somar (B). Não há pegadinhas complexas de restrição.

Gabarito: E.

Resumo: Temos 12 posições (vagões). Escolhemos 4 para pintar de vermelho (C12,4). Sobram 8. Escolhemos 3 para azul (C8,3). Sobram 5. Escolhemos 3 para verde (C5,3). Sobram 2. Escolhemos 2 para amarelo (C2,2). Multiplicamos tudo: C12,4×C8,3×C5,3×C2,2.

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo:
A questão pede para calcularmos de quantas maneiras diferentes podemos pintar um trem de 12 vagões usando 4 cores específicas, com quantidades fixas para cada cor (4 vermelhos, 3 azuis, 3 verdes, 2 amarelos).

Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você tem 12 cadeiras numeradas em um cinema e 12 amigos para sentar.

4 amigos vestem camisa Vermelha.
3 vestem Azul.
3 vestem Verde.
2 vestem Amarelo.
De quantas formas você pode distribuir os lugares para os grupos de camisas?
Primeiro você escolhe onde o “Time Vermelho” senta. Depois, onde o “Time Azul” senta nas cadeiras que sobraram, e assim por diante.

Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):

Escolher as posições para a primeira cor (Vermelho) dentre o total (12).
Escolher as posições para a segunda cor (Azul) dentre as que sobraram.
Escolher as posições para a terceira cor (Verde) dentre as restantes.
As posições da última cor (Amarelo) serão as que sobrarem.
Multiplicar todas as possibilidades (Princípio do “E”: escolho vermelho E azul E verde…).

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Ferramenta 1: Combinação (Cn,k)
Usamos combinação quando a ordem dentro do grupo não importa.

Se eu escolher os vagões 1, 2, 3 e 4 para serem vermelhos, é a mesma coisa que escolher 4, 3, 2 e 1. O resultado é “os quatro primeiros são vermelhos”. Por isso, é Combinação, não Arranjo.

Ferramenta 2: O Princípio Multiplicativo
Quando você toma várias decisões em sequência para formar um único cenário final, você multiplica as possibilidades de cada etapa.

Decisão 1 (Vermelhos) ×× Decisão 2 (Azuis) ×× …

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos pintar o trem passo a passo:

Etapa 1: Pintando de Vermelho
Temos 12 vagões vazios. Precisamos escolher 4.

Cálculo: C12,4.
Saldo: Sobraram 12−4=8 vagões vazios.

Etapa 2: Pintando de Azul
Temos 8 vagões vazios. Precisamos escolher 3.

Cálculo: C8,3.
Saldo: Sobraram 8−3=5 vagões vazios.

Etapa 3: Pintando de Verde
Temos 5 vagões vazios. Precisamos escolher 3.

Cálculo: C5,3.
Saldo: Sobraram 5−3=2 vagões vazios.

Etapa 4: Pintando de Amarelo
Temos 2 vagões vazios. Precisamos escolher 2.

Cálculo: C2,2 (que é igual a 1, pois só há uma maneira: pintar os dois que sobraram).

Finalizando:
Como as escolhas são sucessivas e dependentes (uma acontece após a outra para montar um trem), aplicamos a multiplicação:
Total =

C12,4×C8,3×C5,3×C2,2

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro comum é esquecer de descontar os vagões já usados.
Muitos alunos fazem

C12,4×C12,3×C12,3×C12,2

(Alternativa A).
Isso está errado porque você não pode pintar de azul um vagão que já foi pintado de vermelho! O universo de escolha diminui a cada passo (12 -> 8 -> 5 -> 2).

A Bússola (O Perfil do Culpado):

Síntese do raciocínio: Multiplicação de combinações com o número total (n) decrescendo conforme usamos os vagões.
Expectativa: C12,4⋅C8,3⋅C5,3⋅C2,2.

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

A) C12,4×C12,3×C12,3×C12,2
- O Diagnóstico do Erro: Reposição Indevida.
- Por que está incorreta: Assume que, para cada cor, temos todos os 12 vagões disponíveis novamente. Isso implicaria pintar o mesmo vagão com várias cores ao mesmo tempo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) C12,4+C8,3+C5,3+C2,2
- O Diagnóstico do Erro: Troca de Operador (Soma vs Multiplicação).
- Por que está incorreta: Soma-se quando são casos excludentes (“ou pinto de vermelho OU pinto de azul”). Aqui fazemos tudo junto. O princípio é multiplicativo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) C12,4×2×C8,3×C5,2
- O Diagnóstico do Erro: Bagunça Total.
- Por que está incorreta: Aparece um “2” multiplicando e os índices estão errados. Não segue a lógica sequencial do problema.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) C12,4+2×C12,3×C12,2
- O Diagnóstico do Erro: Soma e Reposição.
- Por que está incorreta: Mistura soma com multiplicação e não desconta os vagões usados.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) C12,4×C8,3×C5,3×C2,2
- Análise de Correspondência: Perfeito.
  - Escolhe 4 de 12.
  - Multiplica pela escolha de 3 dos 8 restantes.
  - Multiplica pela escolha de 3 dos 5 restantes.
  - Multiplica pela escolha dos 2 finais.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento:
A pintura do trem é um processo de escolhas sucessivas em um universo que encolhe: a cada cor aplicada, restam menos vagões, exigindo o uso de combinações sequenciais multiplicadas (C12,4×C8,3×…) para cobrir todas as possibilidades (Alternativa E).

Resumo-flash (A Imagem Mental):
🎨 Pinta 4 (de 12) → Sobram 8.
🎨 Pinta 3 (de 8) → Sobram 5.
🎨 Pinta 3 (de 5) → Sobram 2.
🔗 Conecta tudo com ×.

🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conexão com a Genética (Código Genético):
Esse problema é idêntico ao cálculo de sequências de DNA ou aminoácidos, onde temos posições limitadas e tipos de “peças” para encaixar.
Além disso, é a base da Permutação com Repetição.
A fórmula alternativa para resolver isso seria: P124,3,3,2=4!⋅3!⋅3!⋅2!12!

Se você desenvolver a Alternativa E matematicamente, chegará exatamente nessa fórmula de permutação!

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