Questão 169 caderno azul ENEM 2016

A distribuição de salários pagos em uma empresa pode ser analisada destacando-se a parcela do total da massa salarial que é paga aos 10% que recebem os maiores salários. Isso pode ser representado na forma de um gráfico formado por dois segmentos de reta, unidos em um ponto P, cuja abscissa tem valor igual a 90, como ilustrado na figura.

No eixo horizontal do gráfico tem-se o percentual de funcionários, ordenados de forma crescente pelos valores de seus salários, e no eixo vertical tem-se o percentual do total da massa salarial de todos os funcionários.

O Índice de Gini, que mede o grau de concentração de renda de um determinado grupo, pode ser calculado pela razão A/(A + B) em que A e B são as medidas das áreas indicadas no gráfico.

A empresa tem como meta tornar seu Índice de Gini igual ao do país, que é 0,3. Para tanto, precisa ajustar os salários de modo a alterar o percentual que representa a parcela recebida pelos 10% dos funcionários de maior salário em relação ao total da massa salarial.

Disponível em: www.ipea.gov.br. Acesso em: 4 maio 2016 (adaptado)

Para atingir a meta desejada, o percentual deve ser

A) 40%

B) 20%

C) 60%

D) 30%

E) 70%

Resolução em Texto

📚 Matérias Necessárias para a Solução

Geometria Analítica (cálculo de áreas no gráfico)
Relações Proporcionais (razão entre áreas)
Interpretação Gráfica e Econômica (Índice de Gini e distribuição de renda)

🔢 Nível da Questão

🔹Difícil (Exige compreensão da fórmula do Índice de Gini e análise geométrica do gráfico)

✅ Gabarito

Alternativa A) 40%

📝 Resolução Passo a Passo

🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

A questão trata da distribuição da massa salarial em uma empresa, que pode ser analisada pelo Índice de Gini.

📌 O que sabemos do gráfico?

No eixo horizontal, temos o percentual de funcionários ordenados pelos menores salários até os maiores.
No eixo vertical, temos o percentual acumulado da massa salarial.
O ponto P (90, y) indica que os 90% dos funcionários com menor salário acumulam yyy% da massa salarial.
A empresa deseja ajustar os salários para alcançar Índice de Gini = 0,3.

🔹 Nosso objetivo:
Determinar qual percentual da massa salarial os 10% dos funcionários mais bem pagos devem receber para atingir esse Índice de Gini.

Agora, vamos entender como resolver essa questão!

📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários

🔵 1) O que é o Índice de Gini?

O Índice de Gini é uma medida de desigualdade.

Se Gini = 0, significa que todo mundo recebe o mesmo salário (igualdade total).
Se Gini = 1, significa que uma única pessoa recebe todo o dinheiro e os outros nada (desigualdade máxima).
No Brasil, o Índice de Gini real gira em torno de 0,53 (alta desigualdade).

🔴 2) Como o gráfico representa a distribuição salarial?

O gráfico nos mostra duas áreas:

Área B (parte mais clara) → Representa a equidade, ou seja, a soma dos salários distribuídos mais igualmente.
Área A (parte mais escura) → Representa a desigualdade, ou seja, a parte concentrada nos mais ricos.

O Índice de Gini é calculado pela fração:

G = A / A + B

Onde:

A é a área entre a linha de igualdade perfeita (diagonal) e a curva real de distribuição salarial.
B é a área abaixo da curva real da distribuição.

📌 Se G=0,3, isso significa que a desigualdade salarial deve ser ajustada para que A/A+B=0,3.

Agora, aplicamos isso ao gráfico.

🟢 3) Como usar esse gráfico para calcular os salários dos 10% mais ricos?

O ponto P (90, y) define quanto da massa salarial total foi acumulado pelos 90% mais pobres.
Se soubermos y, podemos calcular quanto sobra para os 10% mais ricos:
- 100%−y

Nosso trabalho será calcular o valor de y no ponto P para então determinar quanto sobra para os 10% mais ricos.

📌 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto

Agora que entendemos os conceitos, precisamos extrair os valores corretos do gráfico.

1️⃣ O gráfico tem dois segmentos de reta, unidos no ponto P, onde a abscissa (x) vale 90.

2️⃣ Precisamos calcular as áreas A e B, porque a relação delas nos dará o Índice de Gini:

G = A / A + B

Queremos que G = 0,3, então precisamos encontrar valores de A e B que satisfaçam essa equação.

✅ Passo 4: Desenvolvimento de Raciocínio

🔵 Cálculo da área total A+B

A área total do gráfico é um triângulo de base 100 e altura 100.

A total = 100 x 100 / 2 = 5000

🔴 Cálculo da área A

A questão nos diz que:

A=5000−B

🟢 Usando a equação do Índice de Gini

Sabemos que G=0,3, então substituímos na fórmula:

A / A + B = 0,3

Substituindo A=5000−B

5000−B/5000 = 0,3

Multiplicamos cruzado:

5000−B=1500
B=3500

Agora que sabemos B, podemos calcular A:

A=5000−3500=1500

🔄 Encontrando o valor de y no ponto P

A área B pode ser dividida em:

Um triângulo de base 90 e altura y → área = 90×y/2
Um trapézio de bases y e 100 e altura 10 → área = (y+100)×10/2

Assim, temos a equação:

90 x Y/2 + (y + 100) x 10/2 = 3500

Multiplicando por 2 para simplificar:

90y+10(y+100)=7000
90y+10y+1000=7000
100y=6000
y=60

Isso significa que o ponto P está no valor y=60

Mas, atenção! Esse valor representa a massa salarial acumulada pelos 90% mais pobres!

O que a questão quer é o percentual da massa salarial dos 10% mais ricos:

100%−60%=40%

Portanto, a resposta correta é 40%.

✨ Passo 5: Análise das Alternativas

✅ Alternativa A) 40% → Correta!
O cálculo mostrou que os 10% mais ricos acumulam 40% da massa salarial total.

❌ Alternativa B) 20% → Errada!
Se fosse 20%, os 90% mais pobres teriam 80% da massa salarial, o que não corresponde ao Gini de 0,3.

❌ Alternativa C) 60% → Errada!
Esse valor corresponde à massa acumulada pelos 90% mais pobres, mas a questão pede o complemento.

❌ Alternativa D) 30% → Errada!
Valor arbitrário que não satisfaz a equação do Índice de Gini.

❌ Alternativa E) 70% → Errada!
Seria um erro de interpretação, assumindo que a desigualdade fosse maior do que realmente é.

🎯Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

🎯 Resumo do Raciocínio:
1️⃣ Calculamos a área total e a área B.
2️⃣ Usamos a equação do Índice de Gini para encontrar B e A.
3️⃣ Descobrimos que P está em 60% da massa acumulada.
4️⃣ Pegamos o complemento para encontrar a massa dos 10% mais ricos: 40%.

✅ Alternativa correta: A) 40%.