A criptografia refere-se à construção e análise de protocolos que impedem terceiros de lerem mensagens privadas. Júlio César, imperador romano, utilizava um código para proteger as mensagens enviadas a seus generais. Assim, se a mensagem caísse em mãos inimigas, a informação não poderia ser compreendida. Nesse código, cada letra do alfabeto era substituída pela letra três posições à frente, ou seja, o “A” era substituído pelo “D”, o “B” pelo “E”, o “C” pelo “F”, e assim sucessivamente.
Qualquer código que tenha um padrão de substituição de letras como o descrito é considerado uma Cifra de César ou um Código de César. Note que, para decifrar uma Cifra de César, basta descobrir por qual letra o “A” foi substituído, pois isso define todas as demais substituições a serem feitas.
Uma mensagem, em um alfabeto de 26 letras, foi codificada usando uma Cifra de César. Considere a probabilidade de se descobrir, aleatoriamente, o padrão utilizado nessa codificação, e que uma tentativa frustrada deverá ser eliminada nas tentativas seguintes.
A probabilidade de se descobrir o padrão dessa Cifra de César apenas na terceira tentativa è dada por
A)
B)
C)
D)
E)
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática (Probabilidade: Regra do Produto / Eventos Dependentes)
- Matemática (Probabilidade Condicional / Sem Reposição)
- Tema/Objetivo Geral: Calcular a probabilidade de um evento específico ocorrer em uma sequência de tentativas sem reposição (acertar apenas na terceira vez).
- Nível da Questão: Médio.
- O aluno precisa identificar que o espaço amostral (o denominador) diminui a cada tentativa (“eliminada nas tentativas seguintes”) e que “acertar apenas na terceira” significa obrigatoriamente errar na primeira E errar na segunda. A interpretação do “total de 25” (excluindo a identidade A=A do alfabeto de 26 letras) é sutil, mas induzida pelas alternativas.
- Gabarito: E
- A alternativa está correta. A sequência de eventos é: Erro (24/25) E Erro (23/24) E Acerto (1/23). Multiplicando as probabilidades, chegamos à expressão da alternativa E.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: “Imagine que você tem um molho de chaves para abrir uma porta. Você vai testando uma por uma e jogando fora as que não funcionam. Qual é a chance de você abrir a porta exatamente na terceira tentativa?”
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine um sorteio de bingo ao contrário. Você quer tirar a bola dourada.
- Para ganhar apenas na 3ª vez, você precisa ter azar na 1ª, azar na 2ª e sorte na 3ª.
- O detalhe crucial: as bolas erradas não voltam para a urna (tentativa frustrada é eliminada). Isso muda o número total de bolas a cada rodada.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Definir o Universo: Quantas chaves (opções) existem no total? As alternativas sugerem começar com 25.
- Narrar a Sequência: O que precisa acontecer passo a passo? (Erro -> Erro -> Acerto).
- Calcular as Frações: Determinar a probabilidade de cada passo, lembrando de diminuir o total a cada erro.
- Conectar: Usar a regra do “E” (multiplicação) para juntar os passos.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver este caso, precisamos da Regra do Produto para Eventos Dependentes.
DOSSIÊ: O EFEITO DOMINÓ (SEM REPOSIÇÃO)
1. O Princípio Multiplicativo (A Regra do “E”):
Quando queremos que aconteça o evento A E depois o evento B E depois o evento C, nós MULTIPLICAMOS as probabilidades.
- P(Total) = P(A) . P(B) . P(C)
2. A Queda do Denominador:
Quando o enunciado diz “uma tentativa frustrada deverá ser eliminada”, estamos em um cenário SEM REPOSIÇÃO.
- Se tínhamos 25 opções, na próxima teremos 24, depois 23… O denominador (o número de baixo da fração) vai caindo uma unidade por vez.
3. O Espaço Amostral (Por que 25?):
O alfabeto tem 26 letras. Porém, na Cifra de César, deslocar 0 posições (A vira A) não é considerado codificação. Sobram 25 deslocamentos possíveis (de 1 a 25). É por isso que todas as alternativas começam com o denominador 25.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos simular as tentativas.
- Cenário Inicial:
- Total de opções: 25.
- Opção Correta (Sucesso): 1.
- Opções Erradas (Fracasso): 24.
Tentativa 1: OBRIGATÓRIO ERRAR
Queremos acertar apenas na terceira. Então, agora temos que errar.
- Probabilidade de Erro = (Chaves Erradas) / (Total)
- P(1) = 24 / 25
- Consequência: Jogamos uma chave errada fora. Restam 24 chaves no total (23 erradas e 1 certa).
Tentativa 2: OBRIGATÓRIO ERRAR
Precisamos errar de novo.
- Probabilidade de Erro = (Chaves Erradas Restantes) / (Total Restante)
- P(2) = 23 / 24
- Consequência: Jogamos outra chave errada fora. Restam 23 chaves no total (22 erradas e 1 certa).
Tentativa 3: OBRIGATÓRIO ACERTAR
Agora é a hora da vitória.
- Probabilidade de Acerto = (Chave Certa) / (Total Restante)
- P(3) = 1 / 23
O Cálculo Final:
Como os eventos são sequenciais (acontece um E o outro E o outro), multiplicamos tudo:
Resultado = (24/25) . (23/24) . (1/23)
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum é somar as frações (Alternativas A e B). Em probabilidade, “OU” significa soma, mas “E” significa multiplicação. Como você precisa errar a primeira E errar a segunda E acertar a terceira, a operação é de vezes (x).
Outra armadilha é esquecer de diminuir o numerador. Na segunda tentativa, se você já gastou um erro, só sobram 23 erros possíveis, não 24.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Uma sequência de três eventos dependentes: Fracasso (24 chances em 25), seguido de Fracasso (23 chances em 24), seguido de Sucesso (1 chance em 23).
- Expectativa: Uma multiplicação de três frações onde os denominadores decrescem (25, 24, 23).
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) (1/25) + (1/25) + (1/25)
- Narrativa do Erro: O aluno somou as probabilidades e considerou que a chance é sempre “1 em 25”. Ignorou que precisa errar antes e ignorou que as chaves são eliminadas.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
B) (24/25) + (23/24) + (1/23)
- Narrativa do Erro: O aluno acertou a lógica individual de cada etapa (errar, errar, acertar) e a redução dos denominadores, mas usou a soma (+) em vez da multiplicação. Isso resultaria num valor maior que 100%, o que é impossível em probabilidade.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
C) (1/25) x (1/24) x (1/23)
- Narrativa do Erro: O aluno considerou a redução do denominador (correto) e a multiplicação (correto), mas errou o numerador. Colocar “1” no topo das primeiras frações significaria que você tem que acertar algo específico na primeira e na segunda tentativa, o que contradiz o objetivo de “descobrir apenas na terceira”.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
D) (24/25) x (23/25) x (1/25)
- Narrativa do Erro: O aluno entendeu que precisa errar (numerador 24, 23), mas esqueceu de diminuir o denominador (manteve 25 fixo). Isso seria “com reposição”, como se você testasse a chave e a colocasse de volta no molho para testar de novo.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
E) (24/25) x (23/24) x (1/23)
- Análise de Correspondência: Perfeita.
- Fração 1: Chance de Errar (24 ruins de 25 totais).
- Fração 2: Chance de Errar de novo (23 ruins restantes de 24 totais).
- Fração 3: Chance de Acertar (1 boa restante de 23 totais).
- Operador: Multiplicação (eventos sucessivos).
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa E é a correta. Em problemas de “acertar na tentativa N”, você deve calcular a probabilidade de falhar em todas as tentativas anteriores (N-1) e multiplicar pela chance de sucesso na atual, ajustando sempre o total de possibilidades.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Para achar a agulha na terceira palheirada, você precisa primeiro pegar dois punhados só de palha.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): Esse raciocínio é a base dos ataques de Força Bruta em segurança da informação (Hacking). Quando um computador tenta quebrar uma senha testando todas as combinações, a chance de ele acertar aumenta a cada tentativa falha, pois o universo de senhas possíveis diminui. É por isso que sistemas seguros bloqueiam o usuário após 3 ou 5 tentativas erradas: para impedir que a probabilidade de acerto do invasor aumente estatisticamente através da exaustão das opções erradas.
