Uma loja comercializa cinco modelos de caixas-d’água (I, II, III, IV e V), todos em formato de cilindro reto de base circular. Os modelos II, III, IV e V têm as especificações de suas dimensões dadas em relação às dimensões do modelo I, cuja profundidade é P e área da base é Ab, como segue:

• modelo II: o dobro da profundidade e a metade da

área da base do modelo I;

• modelo III: o dobro da profundidade e a metade do

raio da base do modelo I;

• modelo IV: a metade da profundidade e o dobro da

área da base do modelo I;

• modelo V: a metade da profundidade e o dobro do

raio da base do modelo I.

Uma pessoa pretende comprar nessa loja o modelo de caixa-d’água que ofereça a maior capacidade volumétrica, o modelo escolhido deve ser o

A) I.

B) II.

C) III.

D) IV.

E) V.

Resolução em Texto

Informações Iniciais

1. Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
   • Geometria Espacial, Proporcionalidade, Regra de Três.
2. Nível da Questão:
   • Médio.
3. Gabarito:
   • E.

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Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

📌 Retomada do Comando:
O enunciado descreve cinco modelos de caixas-d’água, todos em formato de cilindro reto, cujas dimensões dos modelos II, III, IV e V são dadas em relação ao modelo I, que tem profundidade P e área da base Ab. As variações para cada modelo são:

• Modelo II: Dobra da profundidade e metade da área da base.
• Modelo III: Dobra da profundidade e metade do raio da base.
• Modelo IV: Metade da profundidade e o dobro da área da base.
• Modelo V: Metade da profundidade e o dobro do raio da base.

O objetivo é identificar qual modelo oferece a maior capacidade volumétrica para a caixa-d’água.

🔹 O que o Comando Pede:
Determinar, com base na fórmula do volume do cilindro, qual modelo resulta no maior volume.

✔ Palavras-Chave:
“profundidade”, “área da base”, “dobro”, “metade”, “capacidade volumétrica”.

✔ Objetivo:
Comparar os volumes de cada modelo, utilizando as transformações dadas, e identificar o modelo com o maior volume.

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Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários

📌 Conceitos Matemáticos Essenciais:

🔹 Volume do Cilindro:

• O volume de um cilindro é dado por:
  Volume = Área da base × Profundidade.

🔹 Área da Base de um Cilindro:

• Se a base é circular, a área é calculada por:
  Ab = π × r², onde r é o raio da base.

🔹 Proporcionalidade:

• Quando uma dimensão é dobrada ou reduzida pela metade, isso afeta o volume de forma proporcional.

✔ Relação com o Problema:
Utilizaremos essas relações para calcular o volume de cada modelo com base nas variações de profundidade e área ou raio.

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Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto

📌 Contexto da Questão:
Os modelos II a V têm suas dimensões expressas em relação ao modelo I, com a seguinte variação:

• Modelo II: Profundidade = 2P e Área da base = Ab dividido por 2.
• Modelo III: Profundidade = 2P e o raio é reduzido à metade (portanto, a área da base será Ab dividido por 4).
• Modelo IV: Profundidade = P/2 e Área da base = 2Ab.
• Modelo V: Profundidade = P/2 e o raio é dobrado (portanto, a área da base será 4Ab).

🔹 Frases-Chave:

• “dobro da profundidade”
• “metade da área da base”
• “metade do raio”
• “dobro da área da base”
• “dobro do raio”

✔ Interpretação:
Devemos substituir essas variações na fórmula do volume para cada modelo e comparar os resultados.

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Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

📌 Desenvolvimento Passo a Passo:

1. Volume do Modelo I:
   • V₁ = Ab × P.
2. Volume do Modelo II:
   • Profundidade = 2P; Área da base = Ab/2.
   • V₂ = (Ab/2) × (2P) = Ab × P.
3. Volume do Modelo III:
   • Profundidade = 2P; O raio é metade, então a área da base = Ab/4.
   • V₃ = (Ab/4) × (2P) = (1/2) × Ab × P.
4. Volume do Modelo IV:
   • Profundidade = P/2; Área da base = 2Ab.
   • V₄ = (2Ab) × (P/2) = Ab × P.
5. Volume do Modelo V:
   • Profundidade = P/2; O raio é dobrado, então a nova área da base = 4Ab.
   • V₅ = (4Ab) × (P/2) = 2 × Ab × P.

Comparando os volumes:

• V₁ = Ab × P
• V₂ = Ab × P
• V₃ = (1/2) × Ab × P
• V₄ = Ab × P
• V₅ = 2 × Ab × P

Portanto, o Modelo V possui o maior volume.

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Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução

📌 Alternativas:

• A) I
• B) II
• C) III
• D) IV
• E) V

✅ Alternativa Correta – E:

• Explicação: O cálculo mostra que o Modelo V tem um volume de 2 × Ab × P, que é o maior entre os modelos apresentados, validando a alternativa E.

❌ Alternativas Incorretas:

• A, B, D) Cada um destes modelos possui volume igual a Ab × P, inferior ao volume do Modelo V.
• C) O Modelo III tem volume de (1/2) × Ab × P, o menor dentre os.

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Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

📌 Resumo do Raciocínio:
Através da aplicação da fórmula do volume do cilindro, verificamos:

• O Modelo I tem volume Ab × P.
• O Modelo II e o Modelo IV também apresentam volume igual a Ab × P.
• O Modelo III tem volume de (1/2) × Ab × P.
• O Modelo V, com profundidade P/2 e área da base 4Ab (devido ao dobro do raio), resulta em um volume de 2 × Ab × P, que é o maior.

✅ Reafirmação da Alternativa Correta:
Portanto, a alternativa E (Modelo V) é a correta, pois oferece a maior capacidade volumétrica.

🔍 Resumo Final:
🔍 Assim, o Modelo V, com o dobro do volume do Modelo I, é o que possui a maior capacidade, confirmando a alternativa E como a resposta correta.