Uma loja comercializa cinco modelos de caixas-d’água (I, II, III, IV e V), todos em formato de cilindro reto de base circular. Os modelos II, III, IV e V têm as especificações de suas dimensões dadas em relação às dimensões do modelo I, cuja profundidade é P e área da base é Ab, como segue:
• modelo II: o dobro da profundidade e a metade da
área da base do modelo I;
• modelo III: o dobro da profundidade e a metade do
raio da base do modelo I;
• modelo IV: a metade da profundidade e o dobro da
área da base do modelo I;
• modelo V: a metade da profundidade e o dobro do
raio da base do modelo I.
Uma pessoa pretende comprar nessa loja o modelo de caixa-d’água que ofereça a maior capacidade volumétrica, o modelo escolhido deve ser o
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria Espacial (Volume do Cilindro) e Aritmética (Proporcionalidade).
Tema/Objetivo Geral
Análise de variação de grandezas em fórmulas geométricas e comparação de volumes.
Nível da Questão: Médio
- Embora os cálculos sejam simples, a questão exige atenção redobrada à diferença entre “área da base” e “raio da base”. A relação quadrática do raio é o ponto onde muitos candidatos erram, o que eleva o nível da questão.
Gabarito: Alternativa E
- O Modelo V é o escolhido pois, ao dobrar o raio, quadruplicamos a área da base. Mesmo reduzindo a altura pela metade, o volume final será o dobro do original.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão pede que você compare cinco modificações diferentes de um cilindro padrão e identifique qual delas resulta no maior espaço interno (volume).
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que o cilindro é um copo de massinha de modelar.
Alguns modelos esticam o copo (mais alto e fino).
Outros modelos achatam o copo (mais baixo e largo).
O desafio é: qual dessas transformações faz caber mais água?
A chave do mistério é perceber que mexer na largura (raio) é muito mais poderoso do que mexer na altura.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Estabelecer a fórmula base do volume (O Modelo I).
- Calcular o “Fator de Impacto” de cada modificação (II, III, IV e V).
- Comparar os resultados finais e definir o maior.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver isso sem desenhar cinco cilindros, vamos usar a Ficha Técnica de Multiplicadores.
A Fórmula Mestra:
Volume = Área da Base x Altura
O Segredo do Raio (A Potência Oculta):
A Área da Base depende do raio ao quadrado. Isso cria uma regra fundamental para esta investigação:
- Se você mexe na Área da Base diretamente: O impacto é linear (dobrou a área = dobrou o volume).
- Se você mexe no Raio: O impacto é quadrático (dobrou o raio = área quadruplica).
Tabela de Conversão de Poder:
- Raio x 2 → Área x 4
- Raio / 2 → Área / 4
- Altura x 2 → Volume x 2 (se a base não mudar)
- Altura / 2 → Volume / 2 (se a base não mudar)
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos calcular o fator de multiplicação de cada modelo em relação ao Modelo I (que vale 1).
Modelo I (A Referência):
Volume = 1 (Padrão).
Modelo II (O Equilibrado):
Transformação: Dobra a profundidade (x2) e reduz a área da base à metade (/2).
Cálculo: 2 vezes 0,5 = 1.
Resultado: O volume permanece igual.
Modelo III (O Encolhido):
Transformação: Dobra a profundidade (x2) e reduz o raio à metade.
Cuidado aqui! Se o raio cai pela metade (1/2), a área cai para (1/2) vezes (1/2) = 1/4.
Cálculo: 2 (altura) vezes 0,25 (área) = 0,5.
Resultado: O volume caiu pela metade.
Modelo IV (O Invertido):
Transformação: Metade da profundidade (/2) e dobra a área da base (x2).
Cálculo: 0,5 vezes 2 = 1.
Resultado: O volume permanece igual. (Trocou altura por largura na mesma proporção).
Modelo V (O Gigante):
Transformação: Metade da profundidade (/2) e dobra o raio.
Atenção máxima! Se o raio dobra (x2), a área quadruplica (2 vezes 2 = 4).
Cálculo: 0,5 (altura) vezes 4 (área) = 2.
Resultado: O volume dobrou!
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro fatal aqui é confundir “dobrar a área” com “dobrar o raio”.
No Modelo IV, ele dobra a área. Fator x2.
No Modelo V, ele dobra o raio. Fator x4 na área.
Quem não domina a fórmula da área do círculo acha que o Modelo IV e o Modelo V são iguais. Não caia nessa: o raio tem superpoderes porque ele está elevado ao quadrado.
A Bússola (O Perfil do Culpado)
Síntese do raciocínio: Modelos I, II e IV têm o mesmo volume. Modelo III reduziu. Modelo V dobrou.
Expectativa: Procurar a alternativa que indica o Modelo V.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
(A) I.
Análise de Correspondência: O Modelo I é a nossa base de comparação (Volume = 1). Vimos que o Modelo V resulta no dobro deste volume (Volume = 2).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(B) II.
Diagnóstico do Erro: Compensação Exata.
O aluno percebeu que dobrou a altura, mas esqueceu que a base foi cortada pela metade. As alterações se anulam aritmeticamente, mantendo o volume original, não aumentando.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(C) III.
Diagnóstico do Erro: Subestimação do Quadrado.
Aqui o aluno pode ter pensado que “dobrar a altura e reduzir o raio” se compensam. Mas reduzir o raio à metade reduz a área a um quarto. O resultado é uma perda drástica de volume.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(D) IV.
Diagnóstico do Erro: Confusão Conceitual (Área x Raio).
O candidato pode achar que dobrar a “área” (Modelo IV) é a mesma coisa que dobrar o “raio” (Modelo V). Como vimos, dobrar a área tem impacto x2, enquanto dobrar o raio tem impacto x4 na base.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(E) V.
Análise de Correspondência: Perfeito. Ao dobrar o raio, a área da base multiplicou por 4. Ao dividir a altura por 2, multiplicamos o resultado por 0,5. O saldo final é 4 vezes 0,5 = 2. É o único modelo que aumentou a capacidade.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é a Alternativa E. O raio domina a altura na fórmula do volume.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
Na geometria, ser “gordo” (raio maior) vale muito mais do que ser “alto” (profundidade).
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Na Engenharia Civil e Hidráulica, esse princípio explica por que canos levemente mais largos transportam muito mais água do que canos finos, mesmo que a pressão (análoga à altura) seja aumentada. Um pequeno aumento no diâmetro de uma tubulação aumenta a vazão drasticamente (Lei de Poiseuille, onde o raio é elevado à quarta potência na vazão).
